1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...

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In matematica, la serie indeterminata

fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie.[1] La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che

Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene:

La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a se . Se si prolunga analiticamente ad ogni reale, si ricava un integrale convergente per la serie:

dove è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il sistema formato da queste due equazioni differenziali

dove i punti indicano le derivate rispetto a .

La soluzione con equilibrio stabile in con è , e sostiuendola nella prima equazione si ottiene una soluzione nella forma di serie formale di potenze

Si osservi che è precisamente la serie dei fattoriali alternati.

D'altra parte, il sistema di equazioni differenziali ha soluzione

Attraverso integrazioni per parti successive, la serie di potenze formali diventa uno sviluppo asintotico dell'espressione di . Eulero argomentò (più o meno) che uguagliando si ha

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L. Euler, De seriebus divergentibus [On divergent series], in Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, nº 5, 1760, pp. 205–237, arXiv:1202.1506.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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