1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

$\sum _{i=0}^{\infty }(-2)^{i}$

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

$1-2+4-8+\cdots =(1+4+\cdots )-(2+8+\cdots )$ che corrisponde a $\sum _{i=0}^{\infty }(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i}-\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i+1}$.

Sommatoria numero 1

Analizziamo ora la prima sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $2^{2i}=(2^{2})^{i}=4^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }4^{i}$;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$\sum _{i=0}^{m}4^{i}={\frac {1}{3}}\cdot (4^{m+1}-1)$

Sommatoria numero 2

Analizziamo ora la seconda sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i+1}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $2^{2i+1}=2\cdot (2^{2})^{i}=2\cdot 4^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }2\cdot 4^{i}$, il $2$ si può portare fuori e ottenere $2\cdot \sum _{i=0}^{\infty }4^{i}$.

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$2\cdot \sum _{i=0}^{m}4^{i}={\frac {2}{3}}\cdot (4^{m+1}-1)$.

Somma parziale

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari

Caso nº1: il numero è dispari.

$\sum _{i=0}^{1}(-2)^{i}=1-2=\sum _{i=0}^{0}2^{2i}-\sum _{i=0}^{0}2^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^{3}(-2)^{i}=1-2+4-8=\sum _{i=0}^{1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{1}2^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^{m}(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}2^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}2^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}2^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}2^{2i+1}={\frac {1}{3}}\cdot (2^{m+1}-1)-{\frac {2}{3}}\cdot (2^{m+1}-1)=-{\frac {1}{3}}\cdot (2^{m+1}-1)$

Più precisamente abbiamo che:$4^{{\frac {m-1}{2}}+1}=2^{m+1}$

Valore Pari

Caso nº2: il numero è pari.

$\sum _{i=0}^{2}(-2)^{i}=1-2+4=\sum _{i=0}^{1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{0}2^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^{4}(-2)^{i}=1-2+4-8+16=\sum _{i=0}^{3}2^{2i}-\sum _{i=0}^{2}2^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^{m}(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{m-1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}2^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{m-1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}2^{2i+1}={\frac {1}{3}}\cdot (4^{m}-1)-{\frac {2}{3}}\cdot (4^{m-1}-1)={\frac {1}{3}}\cdot (4^{m}-2\cdot 4^{m-1}+1)$ .

In generale

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = $-{\frac {1}{3}}\cdot (2^{m+1}-1)$

m pari = ${\frac {1}{3}}\cdot (4^{m}-2\cdot 4^{m-1}+1)$

Voci correlate

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·