1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

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In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + … è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

che corrisponde a .

Sommatoria numero 1[modifica | modifica wikitesto]

Analizziamo ora la prima sommatoria: .

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma ;

2) Ponendo un numero m come punto finale otteremo che:

Sommatoria numero 2[modifica | modifica wikitesto]

Analizziamo ora la seconda sommatoria: .

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma , il si può portare fuori e ottenere .

2) Ponendo un numero m come punto finale otteremo che:.

Somma parziale[modifica | modifica wikitesto]

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari[modifica | modifica wikitesto]

Caso nº1: il numero è dispari.

La somma diventa quindi:

Più precisamente abbiamo che:

Valore Pari[modifica | modifica wikitesto]

Caso nº2: il numero è pari.

La somma diventa quindi: .

In generale[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari =

m pari =

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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