Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

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Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè

dove la variabile indica un numero primo.

Dimostrazione (Eulero)[modifica | modifica wikitesto]

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

per ogni intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

da cui

e infine

considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a si ricava

[1]

quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto come

sapendo che

[2]

si ricava

dove l'insieme e definito come

evidentemente se allora quindi

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

adesso sapendo che per ogni si ottiene

dove l'ultimo membro diverge per tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

Seconda dimostrazione (Eulero)[modifica | modifica wikitesto]

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di ln(1-x):

I termini 1/3p, 1/4p2 possono essere maggiorati come:

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

Poiché la somma S cresce come per n tendente all'infinito, Eulero concluse che

Terza dimostrazione (Erdős)[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia allora esiste un numero primo tale che .

Sia un intero arbitrario, indichiamo con il numero di interi minori o uguali a che hanno solo fattori primi minori o uguali a , indichiamo anche . Abbiamo che

Ora stimiamo ,scriviamo , ogni si può scrivere nella forma

dove è privo di quadrati e , se è divisibile solo per i primi allora lo è anche . Ci sono meno di possibili scelte per e meno di scelte per , da cui

e quindi

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha e di conseguenza , quindi possiamo scegliere e troviamo

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Questa è una somma telescopica che si riduce a .
  2. ^ Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato (in questo caso ), si ha .
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