Serie sommativa unitaria

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In matematica, la serie sommativa unitaria, denominata in termini matematici anche 1 + 1 + 1 + 1 + ... è una serie divergente, molto simile alla serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · (o serie di Grandi) e alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.

Essa è rappresentabile anche sotto forma di sommatoria come

Ponendo un limite m si può dire che:

Considerando che n appartiene a , cioè l'insieme dei numeri naturali senza lo 0. La formula risulta facilmente dimostrabile per induzione.

Diagramma di Venn degli insiemi notevoli

Ogni numero elevato a 0 da 1 come dimostrato dalla seguente proprietà:

Naturalmente n può appartenere a tutti gli insiemi : l'insieme , l'insieme:,l'insieme ,l'insieme e l'insieme .Non può però appartenere a perché non ha significato.

Sul Piano Cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

In un Sistema di riferimento cartesiano la funzione indica gli stessi punti della funzione

Con .

La funzione indica tutte la rette del 1° quadrante con :.

La funzione indica tutte la rette del 4° quadrante con :.

Con  :

La funzione indica tutte la rette del 2° quadrante con :.

La funzione indica tutte la rette del 3° quadrante con :.

Le funzioni sopraelencate hanno un solo zero in l'origine degli assi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Tenendo conto che e che allora possiamo considerare la Somma unitaria come un caso della Funzione zeta di Riemann in cui .

.

Si può anche dimostrare che:

utilizzando la regolarizzazione e il prolungamento analitico della funzione.

Inoltre, il comportamento asintotico della funzione dopo uno smoothing, presenta un linea che intercetta l'asse y a -1/2.

Emilio Elizalde, fisico spagnolo, ha raccontato un aneddoto su questa serie:

In un breve periodo di meno di un anno, due fisici distinti, A. Slavnov e F. Yndurain davano seminari a Barcellona, su diverse materie. Era notevole come in entrambe le presentazioni a un certo punto il relatore precisasse con queste parole: "Come tutti sanno 1 + 1 + 1 + ... = -1/2"; forse intendendo: "Se non lo sai è inutile che continui ad ascoltare".

Dimostrazione della somma[modifica | modifica wikitesto]

Carl Friedrich Gauss, l'autore dei numeri triangolari

Manipolando l'espressione iniziale possiamo scrivere la Somma unitaria attraverso la differenza di due sommatorie:

Grazie a questa espressione possiamo fornire una seconda dimostrazione alla formula:

Sapendo che e che allora

Abbiamo così ottenuto lo stesso valore iniziale, verificandolo.

La formula indica un Numero triangolare, scoperto da Gauss.

Formule correlate[modifica | modifica wikitesto]

Differenza tra somme[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo quindi enunciare la seguente formula:

Verifichiamo con  :

che corrisponde a
che significa , sempre verificato.
che corrisponde a
che significa , sempre verificato.

Formule legate alla differenza[modifica | modifica wikitesto]

Partendo dalla formula

possiamo ottenerne altre simili

1 :

2 :

3 :

che dimostriamo per  :

1 : = che significa che è uguale a .

= che significa che è uguale a .

2 : = che significa che è uguale a .

= che significa che è uguale a .

3 : = che significa che è uguale a .

= che significa che è uguale a .

Formula generale per differenza[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo quindi scrivere la formula generale:

con che appartiene a .

Formule legate al prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Inoltre possiamo dire :

che risulta facilmente dimostrable con l'utilizzo delle rispettive formule :

e

Moltiplicandoli otteniamo

Approfondendo vediamo :

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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