Funzione eta di Dirichlet

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Per ogni s con  Re(s) > 0 la funzione eta di Dirichlet si definisce come[1]:

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}=1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni s \in \mathbb{C}

Correlazione con la funzione zeta di Riemann[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione

È possibile dare una semplice giustificazione di questo fatto che non costituisce però una dimostrazione rigorosa.

Poiché la funzione zeta è definita come:

\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

Possiamo dire che:

\frac{1}{2^s} \zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots

Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:

\eta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) =
= 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots =
= 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots

Se ci aggiungiamo un'altra volta :\frac{1}{2^s} \zeta(s) avremo che:

\eta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) + \frac{1}{2^s} \zeta(s) =
= 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots +\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots

Ossia:

\eta(s) + \frac{1}{2^{s-1}} \zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} +  \cdots = \zeta(s)

E dunque:

\eta(s)= \zeta(s)- \frac{1}{2^{s-1}} \zeta(s)=\left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

QED

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

Poiché la funzione eta coverge per ogni  Re(s) > 0 mentre la funzione zeta solo per  Re(s) > 1 la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

Relazione di Riflessione[modifica | modifica sorgente]

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

Valori particolari[modifica | modifica sorgente]

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

 \!\ \eta(1) = \ln2 , ossia la serie armonica a segni alterni
\eta(2) = {\pi^2 \over 12}
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}
\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880}
\eta(12) = {{61499\pi^{12}} \over {56855407305}}

Più in generale per ogni valore pari di s:

\eta(2s) = {{B_{2s}\pi^{2s}(4^{s} - 1)} \over {(2s!)}}

Dove  B_s sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

\eta(0) =1-1+1-1+1-\cdots =\frac{1}{2}

\eta(-1) =1-2+3-4+5-\cdots =\frac{1}{4}

Generalizzando per ogni s minore di uno

\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. Abramowitz e I. Stegun (1964) Handbook of Mathematical Functions Governement Printing Office p. 807

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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