Funzione eta di Dirichlet

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Per ogni s con la funzione eta di Dirichlet si definisce come[1]:

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni

Correlazione con la funzione zeta di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

È possibile dare una semplice giustificazione di questo fatto che non costituisce però una dimostrazione rigorosa.

Poiché la funzione zeta è definita come:

Possiamo dire che:

Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:

Se ci aggiungiamo un'altra volta : avremo che:

Ossia:

E dunque:

QED

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

Poiché la funzione eta coverge per ogni mentre la funzione zeta solo per la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

Relazione di Riflessione[modifica | modifica wikitesto]

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

Valori particolari[modifica | modifica wikitesto]

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

, ossia la serie armonica a segni alterni

Più in generale per ogni valore pari di s:

Dove sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

Generalizzando per ogni s minore di uno

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Abramowitz e I. Stegun (1964) Handbook of Mathematical Functions Governement Printing Office p. 807

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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