Toro (geometria)

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In geometria il toro è una superficie a forma di ciambella. Può essere ottenuta come superficie di rivoluzione, facendo ruotare una circonferenza, la generatrice, intorno ad un asse di rotazione appartenente allo stesso piano della generatrice, ma disgiunto da questa.

Il termine deriva dal latino torus che indicava, fra le altre cose, un tipo di cuscino a forma di ciambella.

Indice

1 Il toro nella geometria euclidea
- 1.1 Rappresentazione mediante equazioni parametriche
- 1.2 Proprietà metriche
2 Topologia del toro
- 2.1 Costruzione
- 2.2 Proprietà topologiche
3 Il toro solido
4 Voci correlate
5 Altri progetti

[modifica] Il toro nella geometria euclidea

[modifica] Rappresentazione mediante equazioni parametriche

Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:

$x(p,t) = (R+r\,\cos p)\cos t$

$y(p,t) = (R+r\,\cos p)\sin t$

$z(p,t) = r\,\sin p$

dove $t, p$ variano tra 0 e $2π$ , $R > 0$ è la distanza dal centro del tubo al centro del toro e $r > 0$ è il raggio del tubo.

L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse z, è data da:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

[modifica] Proprietà metriche

L'area ed il volume racchiuso dal toro sono dati rispettivamente da:

$A = 2\pi r\ 2\pi R=4\pi^2 Rr$ ,

$V = \pi r^2 \ 2\pi R=2\pi^2R r^2.$

[modifica] Topologia del toro

[modifica] Costruzione

Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze S¹ × S¹. Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in R³ individuano un omeomorfismo con l'insieme S¹ × S¹.

Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

Q = [0,1] × [0,1] ⊆ R²

la relazione di equivalenza $\sim_T$ tale che $x \sim_T y$ se e solo se $x = y$ è un unico punto interno oppure $x$ e $y$ sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente $Q/\sim_T$ che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del R² rispetto al sottogruppo Z².

[modifica] Proprietà topologiche

Il toro è una superficie, quindi una varietà differenziabile di dimensione 2.
Il toro è compatto, connesso, ma non semplicemente connesso. Infatti il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ .
Il rivestimento universale del toro è omeomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Quindi i gruppi di omotopia di grado maggiore di 1 del toro sono tutti banali.
La caratteristica di Eulero del toro è zero.
Il genere del toro è 1.
Sul toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Nel seguente disegno il toro è stato diviso in sette regioni, a due a due tutte confinanti: quindi necessita di ben sette colori diversi.

Il toro, a meno di diffeomorfismi, è l'unica superficie compatta su cui è possibile definire un campo vettoriale continuo senza punti critici (v. Varietà pettinabili).

[modifica] Il toro solido

Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro. Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto $D\times S^1$ del disco bidimensionale

$D = \{(x,y)\in\R^2\ |\ x^2+y^2\leq 1\}$

con la circonferenza $S 1$ . Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}$ . Si tratta infine del corpo con manici avente genere uno.