Topologia di sottospazio

In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione

Se Y è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, la topologia indotta su Y dalla topologia su X è la seguente: un insieme U di Y è aperto se e solo se esiste un aperto V di X tale che V ∩ Y = U. In altre parole, gli aperti di Y sono le intersezioni degli aperti di X (cioè gli aperti V) con Y.

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta.

Alternativamente, si può definire la topologia su Y in uno dei modi seguenti:

• La topologia su Y è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione i:Y → X continua.
• La topologia su Y è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico Z una mappa f:Z → Y è continua se e solo se lo è la sua composizione i o f:Z → X con l'inclusione i:Y → X.

Esempi

• I numeri interi Z vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R. Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.

• Anche i numeri razionali Q vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R, ma questa non è discreta.

• Consideriamo l'intervallo I = [0, 1] con la topologia indotta da R. Il sottoinsieme (0, 1] è aperto in I ma non in R.

Proprietà

• Intersecando tutti gli aperti di una base di X con Y si ottiene una base per Y.
• Se X è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad Y induce la topologia del sottoinsieme.
• Se X è compatto e Y è chiuso allora Y è anch'esso compatto.
• Se X è di Hausdorff allora anche Y lo è.
• Gli insiemi chiusi di Y sono le intersezioni di Y con gli insiemi chiusi di X.

Voci correlate

• La topologia quoziente.
• La topologia prodotto.

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