In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con e l'insieme delle relazioni con , la presentazione di un gruppo si indica con
La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.
Consideriamo un insieme detto alfabeto dove per ogni definiamo un ulteriore elemento [postille 1][1], cioè:
allora definiamo una parola di lunghezza n un qualunque prodotto (cioè la legge di composizione del gruppo G) formale finito
- ,
e denotiamo la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore, in notazione . Essendovi elementi che si possono ripetere n-volte, utilizziamo le seguenti scritture abbreviate:
Tali sequenze di elementi del gruppo G possono essere semplificate. Infatti una generica sequenza del tipo:
ha due occorrenze che si possono cancellare riducendo la lunghezza della parola senza influenzare il suo significato. La cancellazione si può effettuare in percorsi diversi ma il risultato è sempre la stessa parola per una descritta parola iniziale . Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi e contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Ad esempio:
quindi sono due parole equivalenti perchè semplificando danno la stessa . Una parola ridotta verifica la seguente condizione:
oppure se
dove la parola ridotta ha lunghezza al più , basta considerare le sequenze ridotte limite:
L'insieme delle parole ridotte formate dall'alfabeto si può dotare della struttura algebrica di gruppo [postille 2][2].
- Definiamo come prodotto o legge di composizione interna tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale.
- l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore con il fattore e viceversa.
- con la proprietà
L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme e indicato con .
Consideriamo un insieme , il gruppo libero e un sottoinsieme formato da parole di . Il gruppo di presentazione è definito come il più grande gruppo quoziente di tale che ogni elemento di è identificato con l'identità.
Detto il più piccolo sottogruppo normale contenente (chiusura normale di ), si dimostra che:
Gli elementi di sono detti generatori di , gli elementi di sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di , che nella loro forma più semplice possono essere espressi come , dove e è l'identità di .
Una presentazione è detta finitamente generata se l'insieme dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme delle relazioni, finita se sono finiti sia che . In simboli:
Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere e come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo , dove è una entrata della tavola di composizione.
Se è indicizzato da un insieme , esiste una funzione biiettiva e un algoritmo che, dato permette di trovare e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme , diciamo che è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è .
Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).
Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.
Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:
- ogni gruppo ha una presentazione;
- ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
- in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
- dati due gruppi e di presentazioni e , con e disgiunti, il prodotto libero ha presentazione ;
- dati due gruppi e di presentazioni e , con e disgiunti, il prodotto diretto ha presentazione ;
Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.
Gruppo |
Presentazione |
Note
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Gruppo libero su
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Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
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Gruppo libero abeliano su
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, dove è l'insieme di tutti i commutatori di .
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Gruppo simmetrico
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, dove la seconda relazione vale per .
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La terza relazione si può sostituire con , utilizzando la prima relazione. è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto è un 3-ciclo sull'insieme .
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Gruppo di trecce
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, dove la prima relazione vale per .
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L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione .
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, gruppo ciclico di ordine n
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, gruppo diedrale di ordine n
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rappresenta una rotazione, una riflessione.
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, gruppo diedrale infinito
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, gruppo diciclico
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Gruppo dei quaternioni
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Equivale al gruppo diciclico .
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Il gruppo tetraedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
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Il gruppo ottaedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
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Il gruppo icosaedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
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- ^ (EN) P. M. Cohn, IX. Further group theory § 9.9, in Algebra I, 2ª ed., John Wiley & Sons Inc, 1982, ISBN 978-0471101697.
- ^ (EN) M. A. Armstrong, XXVII. Free groups and presentations, in Groups and Symmetry, 1ª ed., NY, Springer, 1988, pp. 166-172, ISBN 978-0-387-96675-5.
- Postille
- ^ È sempre possibile definire due elementi e , che si identificano rispettivamente con e
Il simbolo indica l'insieme dei generatori del gruppo G
- ^ Da notare i simboli diversi per la composizione o il prodotto nei due gruppi seguenti:
il gruppo libero e quello principale
- (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
- (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9