Successione di Fibonacci

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In matematica, la successione di Fibonacci, indicata con F_n o con Fib(n), è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F_1=1 e F_2=1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:

F_1=1,
F_2=1,
F_n=F_{n-1}+F_{n-2} (per ogni n>2)

Gli elementi F_n sono anche detti numeri di Fibonacci.

I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \dots

La successione prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci.

Origini della successione[modifica | modifica wikitesto]

L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge matematica che potesse descrivere la crescita di una popolazione di conigli.

Assumendo per ipotesi che:

  • si disponga di una coppia di conigli appena nati
  • questa coppia (la prima) diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese;
  • le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;
  • le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi, diano alla luce una coppia di figli al mese;

si verifica quanto segue:

  • dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile,
  • dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
  • nel mese seguente (terzo mese dal momento iniziale) ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste tre due saranno le coppie fertili, quindi
  • nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3+2=5 coppie

In questo esempio, il numero di coppie di conigli di ogni mese esprime la successione di Fibonacci.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto \frac{F_n}{F_{n-1}}, per n tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale \phi chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

\lim_{n \to \infty}{F_n \over F_{n-1}}=\,\phi


dove

\,\phi={1+\sqrt 5 \over 2}=1,6180339887\dots

Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea \frac{1}{\phi} = 0,6180339887....

Ricordiamo che per \phi valgono le seguenti relazioni:

a) \phi - 1 = \frac{1}{\phi}= {-1+\sqrt 5 \over 2},
b) 1 - \phi = -\frac{1}{\phi} = {1-\sqrt 5 \over 2}.

Si ha che l'n-esimo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:

F_n = \frac{\phi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}.

Questa elegante formula è nota come formula di Binet. Jacques Binet la dimostrò nel 1843, tuttavia essa era già nota nel XVIII secolo da Eulero, Abraham de Moivre e Daniel Bernoulli.

Talora risulta comodo servirsi della successione bilatera (cioè una successione definita sugli interi invece che sui naturali) costituita da numeri interi aggiungendo ai precedenti i termini F_{-n} := (-1)^{n+1} F_n \quad \mathrm{per} \quad n = 1, 2, \ldots

A partire dai numeri di Fibonacci e dalla sezione aurea si possono definire alcune funzioni speciali: coseno iperbolico di Fibonacci, cotangente iperbolica di Fibonacci, seno iperbolico di Fibonacci, tangente iperbolica di Fibonacci.

Relazioni con il triangolo di Tartaglia ed i coefficienti binomiali[modifica | modifica wikitesto]

Il Triangolo di Tartaglia è una famosa rappresentazione dei coefficienti binomiali che si ottengono dallo sviluppo del binomio di Newton (a+b)^n, dove n è una riga del triangolo:

Le prime righe del triangolo di Tartaglia

Per mostrare che esiste una relazione tra il triangolo e i numeri di Fibonacci, riscriviamo i numeri del triangolo nel seguente modo:

PascalFibonacci.svg

Come si vede, a partire dalla prima linea rossa in alto, se si sommano i numeri attraversati da ogni linea, si ottiene la successione di Fibonacci.

La relazione con i coefficienti binomiali è: F_n =\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=1}^{n} {n-k \choose k-1}

Numeri di Fibonacci e fattori comuni[modifica | modifica wikitesto]

Se n \mid m allora  F_n \mid F_m , cioè ogni multiplo nk di n individua un numero di Fibonacci F_{nk} multiplo di F_n.

Analisi visiva. Costruiamo una tabella mettendo "x" se F_n non è un divisore di F_i:

    i           3  4  5  6  7  8  9 10 11  12
    F(i)        2  3  5  8 13 21 34 55 89 144
    F(3)=2         x  x     x  x     x  x       
    F(4)=3      x     x  x  x     x  x  x       
    F(5)=5      x  x     x  x  x  x     x   x

Da cui si vede che:

2 è un fattore di F_{3n} per ogni n,

3 è un fattore di F_{4n} per ogni n,

5 è un fattore di F_{5n} per ogni n,

etc.

La dimostrazione segue dai coefficienti binomiali

F_k =\sum_{i=1}^{k-1} {k-i \choose i-1} = m,

F_{nk} =\sum_{i=1}^{nk-1} {nk-i \choose i-1} = t.

Numeri di Fibonacci vicini[modifica | modifica wikitesto]

Due numeri di Fibonacci consecutivi F_n,F_{n+1} non hanno fattori comuni, cioè sono coprimi.

Infatti, se per ipotesi fosse F_n=ma e  F_{n+1}=mb, in cui m è il fattore comune (diverso da 1), si avrebbe F_{n+2}=F_{n+1}+F_n=m(a+b), cioè anche F_{n+2} avrebbe m come fattore comune e, proseguendo il ragionamento per i successivi F_{n+3}, F_{n+4},\dots, si arriverebbe all'assurdo che tutti i numeri della successione hanno il fattore comune m.

Numeri di Fibonacci primi[modifica | modifica wikitesto]

Dato che F_{nm} è divisibile per F_n e F_m, se un numero F_k è primo, anche k è primo, fatta eccezione per F_4=3.

Non è vero il contrario. Infatti ad esempio 19 è primo, mentre F_{19}=113\cdot37=4181 non è primo.

Il più grande numero primo di Fibonacci F_{81839} è stato segnalato in aprile 2001 da David Broadbent e Bouk de Water.

La serie di numeri indice dei numeri primi di Fibonacci è la sequenza A001605.

Teorema di Carmichael e fattori primi caratteristici[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni n>12, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci F_n che non è mai apparso come un fattore dei numeri di Fibonacci F_k, con k<n.

Questo teorema è noto come teorema di Carmichael. Per n\leq 12 si hanno i seguenti casi particolari:

F_1=1 (non ha fattori primi);

F_2=1 (non ha fattori primi);

F_6=8, che ha solo il fattore primo 2, che è anche F_3;

F_{12}=144, che ha solo i fattori 2 e 3, come i suoi fattori primi e questi sono apparsi in precedenza come F_3=2 e F_4=3.

Si noti che questo non significa che F_p deve essere un numero primo per ogni p primo. Ad esempio F_{19} = 4,181 = 37 \times 113, dove 19 è un numero primo, ma F_{19} no.

I fattori primi di un numero di Fibonacci F_n che non dividono nessun numero di Fibonacci precedente sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi.

Un fattore primitivo di F_n è congruente a  1 \mod n , con l'eccezione n=5.

Se  n \equiv 3 \mod 10 e n è un divisore primitivo di F_{n+1}, allora n è primo. Se  n \equiv 1 \, \bmod 10 e n è un divisore primitivo di F_{n-1}, allora n è primo (questo teorema è stato citato per la prima volta da Édouard Lucas, ma non dimostrato).

Proprietà di divisibilità[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Fibonacci godono in generale delle seguenti proprietà di divisibilità:

  • Se m \mid k allora F_m\mid F_k

dove il simbolo x\mid y significa che x è un divisore di y.

Un altro risultato è il seguente: scelti n+1 numeri di Fibonacci da un insieme F_1, F_2, F_3, \dots , F_{2n}, allora uno dei numeri scelti divide un altro esattamente (Weinstein 1966).

Mihàly Bencze trovò una nuova proprietà di divisibilità con una nuova sequenza. La sequenza ha i primi quattro valori fissati e la regola B(n+4) = B(n+1) + B(n).

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
B(n) 4 0 0 3 4 0 3 7 4 3 10 11 7 13

Ora si osserva che B(n) è sempre divisibile per n, quando n è un numero primo (Bencze 1998).

Primalità[modifica | modifica wikitesto]

Se p è un numero primo maggiore di 7 e p \equiv 2 \, \bmod 5 oppure p \equiv 4 \, \bmod 5 e 2p-1 è un numero primo (una condizione che ricorda quella sulla primalità di Sophie Germain), allora (2p-1) \mid F_p, quindi F_p è composto.

Se p è primo allora F_{p}^n non è un quadrato perfetto ad eccezione di p=5, nel qual caso però è F_{5}^n = 5^m, con m non quadrato perfetto.

Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità[modifica | modifica wikitesto]

Un'importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro massimo comun divisore. Infatti è soddisfatta l'identità

\mathrm{MCD}(F_n,F_m)=F_{\mathrm{MCD}(n,m)} (Teorema di Vorob’ev)

Da questo segue che F_n è divisibile per F_m se e solo se n è divisibile per m. Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci F_n può essere un numero primo solamente se n stesso è un numero primo, con l'unica eccezione di F_4=3 (l'unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è F_2=1).[1] Il viceversa tuttavia non è vero: F_{19}, ad esempio, è uguale a 4181=37\cdot 113.

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Fibonacci siano o meno infiniti.

Inoltre si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Fibonacci.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Tra le altre proprietà minori della sequenza di Fibonacci vi sono le seguenti.

  • Charles Raine trovò che se si considerano 4 numeri di Fibonacci di seguito F_{k},F_{k+1},F_{k+2},F_{k+3} e consideriamo un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c. Allora, se a è uguale al prodotto dei termini esterni e b è uguale al doppio prodotto dei termini interni (ovvero se a=F_{k}F_{k+3} e b=2F_{k+1}F_{k+2}), tramite il teorema di pitagora è possibile verificare che c è un numero di Fibonacci. Inoltre, l'area del triangolo sarà uguale al prodotto dei quattro numeri.
    Prendendo ad esempio i numeri 3, 5, 8 e 13, allora è  a=3 \cdot 13=39, b=2(5 \cdot 8)=80 . Sommando i quadrati otteniamo c=\sqrt{39^2 + 80^2} = \sqrt{1521 + 6400} = \sqrt{7921} = 89, che è l'undicesimo numero di Fibonacci. L'area del triangolo sarà  3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 13=1560 .
  • Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.
  • Se si prende la sequenza dei quadrati dei numeri di Fibonacci, e si costruisce una sequenza sommando a due a due i numeri della prima sequenza, la sequenza risultante è costituita da tutti e soli i numeri di Fibonacci di posto dispari.
  • Data la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto dispari, se si costruisce la sequenza ottenuta sottraendo a due a due i numeri adiacenti della prima sequenza, si ottiene la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto pari.
  • Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1.
  • Gli unici numeri di Fibonacci che sono anche quadrati sono 0, 1 e 144, come dimostrato nel 1963 da John H. E. Cohn[2].
  • L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 da Jean-Dominique Cassini, afferma che per ogni intero n,
F_{n-1}F_{n+1}-F^2_n=(-1)^n.
Tale identità è stata generalizzata nel 1879 da Eugène Charles Catalan:
F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n+r}F_r^2.
  • La somma dei reciproci dei numeri di Fibonacci converge, come si può vedere applicando il criterio del rapporto, ricordando che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi tende a \phi\approx 1,618>1. La somma di questa serie è circa 3,35988566624; è stato dimostrato che questo numero è irrazionale. Si può ricavare già da 100 termini con PARI/GP: sum(i=1,100,1.0/fibonacci(i))

Algoritmo di Euclide con ciclo più lungo[modifica | modifica wikitesto]

Lamé dimostrò nel 1844 che l'algoritmo di Euclide ha un ciclo più lungo se in input ci sono numeri di Fibonacci

Frazioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono legami con le frazioni continue da parte dei numeri di Fibonacci, ma anche con le frazioni di Farey e la sezione aurea.

Una particolare frazione continua infinita è la sezione aurea \phi = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,…]

La frazione continua precedente si può anche considerare come vari pezzetti di termini convergenti; ad esempio:

(0) = 0

(0, 1) = 1

(0, 1, 1) = 1/2

(0, 1, 1, 1) = 2/3

(0, 1, 1, 1, 1) = 3/5

(0, 1, 1, 1, 1, 1) = 5/8

(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = 8/13

I vari pezzetti visti prima ci danno due legami inattesi della sezione Aurea: uno con la successione di Fibonacci, l’altro con la successione di Farey.

Difatti notiamo tra i pezzetti il ripetersi della sequenza 1, 2, 3, 5, 8, 13, … come nei numeri di Fibonacci. Escludendo (0), per ottenere il terzo elemento si devono sommare i primi due, per ottenere poi il successivo termine si devono sommare i precedenti due etc.

Sempre dai pezzetti si osserva che due successivi convergenti della sezione aurea soddisfano la relazione (ps - qr) = 1. Ad esempio con 5/8 e 8/13 si ha che 5*13-8*8=65-64=1, come nella serie di Farey.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una generalizzazione si può ottenere ponendo:

W_0(a, b, h, k) = a,

W_1(a, b, h, k) = b,

e per ogni n > 1 sia

W_n(a, b, h, k) = hW_{n-1}(a, b, h, k)-kW_{n-2}(a, b, h, k).

Le W_{n}(a, b, h, k) sono successioni ricorrenti lineari, dove ogni elemento è combinazione lineare dei due precedenti.

Diciamo successione generalizzata di Fibonacci la sequenza W_n (a, b, h, k) con valori iniziali 0 e 1: F_{n}(h, k) = W_{n}(0, 1, h, k).

La classica successione di Fibonacci è:

\{F_{n}(1,-1)\} = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,\dots \}.

Diciamo successione generalizzata di Lucas la sequenza:

L_{n}(h, k) = W_{n}(2, h, h, k).

La classica successione dei numeri di Lucas è: \{L_{n}(1,-1)\} = \{2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199,\dots \}.

I numeri di Lucas e quelli di Fibonacci sono collegati da moltissime relazioni. Si noti per esempio che: 1+2=3, 1+3=4, 2+5=7, 3+8=11,\dots , F_k + F_{k+2} = L_{k+1}
. Quindi da quanto visto sopra una successione di Fibonacci può anche non cominciare necessariamente con due 1. Questa successione è detta successione di Fibonacci generica o generalizzata. Ogni successione generica di Fibonacci rispetta però una singolare caratteristica, la somma dei primi dieci elementi sarà sempre uguale a 11 volte il settimo elemento. La dimostrazione è molto semplice: elenchiamo i primi dieci elementi in questo modo:

1º elemento: m
2º elemento: n
3º elemento: m+n
4º elemento: m+2n
5º elemento: 2m+3n
6º elemento: 3m+5n
7º elemento: 5m+8n
8º elemento: 8m+13n
9º elemento: 13m+21n
10º elemento: 21m+34n

Sommando tutti i dieci elementi, si otterrà 55m + 88n che è proprio uguale a 11 volte il settimo elemento.

Ogni successione generalizzata conserva la proprietà che il rapporto tra due numeri consecutivi tende alla sezione aurea. Una particolare successione di Fibonacci generalizzata, quella ottenuta ponendo m=2 e n=1, è detta successione di Lucas, dal matematico francese Édouard Lucas.

Calcolo con la matrice M[modifica | modifica wikitesto]

Un metodo efficace per calcolare numeri di Fibonacci generalizzati con indice grande è fare ricorso alle matrici.

M = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-k & h \end{bmatrix}

M^n = \begin{bmatrix}
-kF_{n-1}(h,k) & F_{n}(h,k) \\
-kF_{n}(h,k) & F_{n+1}(h,k) \end{bmatrix}

Se T_{r}(M^n)=L_{r}(h,k)

allora

M^n = T_{n}(h,k)I + F_{n}(h,k)M

dove T_{n}(h,k) = W_{n}(1, 0, h, k)

Successioni Tribonacci e Tetranacci[modifica | modifica wikitesto]

La successione di Fibonacci può essere anche generalizzata non richiedendo che ogni numero sia la somma dei due precedenti, ma degli ultimi n, dove n è un qualsiasi numero intero. Se n=1 si ottiene una successione degenere i cui termini sono tutti 1, se n=2 si ottiene la successione di Fibonacci, mentre per n=3 e 4 si ottengono rispettivamente le cosiddette successione Tribonacci e Tetranacci. Caratteristica comune di queste successioni è che il rapporto tra due termini consecutivi tende alla radice reale compresa tra 1 e 2 del polinomio

x^n-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots-x-1.

Anche la somma dei reciproci degli elementi di questa successione converge (se n>1), come si può vedere facilmente considerando che ogni k-esimo elemento di una successione è maggiore o uguale del corrispondente elemento F_k della successione di Fibonacci, e quindi il reciproco è minore.

Numeri complessi di Fibonacci[modifica | modifica wikitesto]

Un numero complesso di Fibonacci è un numero complesso la cui parte reale è un numero di Fibonacci.

Ad esempio z=8-i è un numero complesso di Fibonacci perché \mathrm{Re}(z)=8=F_6.

Proprietà dei numeri complessi di Fibonacci[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto di numeri complessi di Fibonacci con k dispari e n > 0 è tale che:

\frac{F_k -ni}{F_{k-1}-(n-1)i} = \frac{F_{k+n}+i(-1)^{n-1}}{F_{k+(n-1)}},

dove F_{k+n}= \sum_{i=k+1}^{n-1} F_i.

Ad esempio:

\frac{5-i}{3-i} = \frac{8+i}{5},

\frac{13-i}{8-i} = \frac{21+i}{13},

\frac{8-2i}{5-i} = \frac{21-i}{13},

\frac{13-3i}{8-2i} = \frac{55+i}{34}.

Per k pari e n > 0 la formula non vale per i numeri complessi ma solo per i numeri interi sostituendo 1 a i, ovvero

\frac{F_{k} -n}{F_{k-1}-(n-1)} = \frac{F_{k+n}+(-1)^{n-1}}{F_{k+(n-1)}},

dove F_{k+n}= \sum_{i=k+1}^{n-1} F_i.

Ad esempio:

\frac{8-1}{5-1} = \frac{13+1}{8},

\frac{13-2}{8-1} = \frac{34-1}{21},

\frac{8-3}{5-2} = \frac{34+1}{21},

\frac{8-3}{5-2} = \frac{34+1}{21}.

Sequenza random di Fibonacci[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1999, Divikar Viswanath considerò una sequenza random di Fibonacci, V_n, in cui V_{n} è definito come V_{n-1}\pm V_{n-2}, dove \pm è + o - con uguale probabilità. Tale sequenza fu detta sequenza di Vibonacci oppure sequenza random di Viswanath.

Costante di Viswanath[modifica | modifica wikitesto]

Viswanath scoprì una costante simile al rapporto aureo nella sua successione. Dal momento che la sequenza non è sempre crescente, Viswanath sapeva che la costante sarebbe stata inferiore al rapporto aureo. Tale costante è nota come costante di Viswanath.

Sequenze Repfigit[modifica | modifica wikitesto]

Numeri Repfigit[modifica | modifica wikitesto]

Il nome deriva da "replicating Fibonacci digit" ed indica i "numeri riproduttori di Fibonacci".

Si definisce numero Repfigit o numero di Keith un numero n intero, costituito da m cifre

n=\sum_{i=0}^{m-1} 10^i  {d_i},

che si rigenera all'interno di una sequenza del tipo

d_1, d_2, \ldots, d_m, s_1 , s_2 , s_3 , \ldots

con

 s_1 = d_1 + d_2 + d_3 + \ldots + d_m
 s_2 = s_1 + d_2 + d_3 + \ldots + d_m
 s_3 = s_1 + s_2 + d_3 + \ldots + d_m
 \vdots

Generalizzando si consideri la sequenza definita in maniera ricorsiva da

 s_1 = \sum_{k = 1}^{m} d_k
 s_k = \sum_{i=1}^{k-1} s_{i} + \sum_{j=k}^{m} d_j per  k>1 .

Se  s_k = n per qualche k, n è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith.

Esempi di repfigit

n=47 m=2 cifre

4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 , ...

n=197 m=3 cifre

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361, ...

n=1537 m=4 cifre

1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537, 2963 , ...

È nel 1987 che Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci.

Nel 1987 il numero repfigit più grande conosciuto era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, fu scoperto 44.121.607 e nello stesso anno il dottor Googol trovò che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono repfigit nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. Oggi sono stati scoperti numeri di questo tipo molto più grandi.

Numeri riproduttori di Fibonacci fino a 5 cifre

m=2

14 , 19 , 28 , 47 , 61 , 75

m=3

197 , 742

m=4

1104 , 1537 , 2208 , 2580 , 3684 , 4788 , 7385 , 7647 , 7909

m=5

31331 , 34285 , 34348 , 55604 , 62662 , 86935 , 93993

Vedi [1] A007629 in Sloane's OEIS per una lista completa.

Numeri Repfigit inversi[modifica | modifica wikitesto]

Esistono anche i numeri di Keith inversi, detti sinteticamente revRepfigit.

Ad esempio 12 è un numero revRepfigit perché con la tecnica vista prima si può ottenere una sequenza che mi dà il numero rovesciato ovvero 21: 1,2,3,5,8,13,21

Sono revRepfigit anche 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691 etc.

Congetture[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono almeno due congetture da verificare:

1. Se i numeri repfigit sono infiniti.

2. Se esistono repfigit con m>34.

Numeri di Fibonacci e legami con altri settori[modifica | modifica wikitesto]

In matematica i numeri di Fibonacci sono legati in qualche modo alla sezione aurea, alla sequenza di Farey, alle frazioni continue, alla zeta di Fibonacci, alla zeta di Riemann, ai gruppi di Lie, ai frattali.

In Fisica sussiste il legame con la teoria delle stringhe. Molti altri legami sono evidenti con la biologia, la cristallografia, la musica, l'economia, l'arte, l'elettrotecnica, l'informatica, ecc. Tuttavia non mancano esempi di "avvistamenti" della serie di Fibonacci un po' forzati: lo rivelano Gael Mariani e Martin Scott dell'Università di Warwick, con un articolo su New Scientist del settembre 2005.

In chimica[modifica | modifica wikitesto]

Recentemente in Germania scienziati internazionali hanno scoperto la comparsa del numero aureo 1,618 insieme al gruppo di simmetria E8 in un composto chimico (niobato di cobalto), portato artificialmente in uno stato quantistico critico (l'equivalente quantistico dei frattali).

Tramite il principio geometrico delle teorie di stringa si può trovare che i numeri di Fibonacci conservano la simmetria e sono abbastanza vicini ai "Numeri di Lie", sui quali, invece, si basano i cinque gruppi eccezionali di simmetria G2, F4, E6, E7, E8.

E8 è proprio il gruppo coinvolto in tale recente ed importante scoperta. E8 ha dimensione 57, che è un numero di Lie per n = 7, infatti 7^2+7+1=57, vicinissimo al numero di Fibonacci 55=7^2+7-1 (i numeri di Lie e i numeri di Fibonacci hanno quindi lo stesso DNA geometrico (simmetria) e numerico corrispondente (parabola n^2+n+1 per i numeri di Lie, n^2+n+/-c con n primo e c molto piccolo). Ma il numero 248, collegato a E8, è anche 248 = 15^2+15+8=225+15+8 con numero vicino di Fibonacci 233=15^2+15-7

Nella musica[modifica | modifica wikitesto]

La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono[3] che importante sia in essa il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.

Sul piano compositivo, attraverso la serie di Fibonacci la sezione aurea può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc. Anche se vi sono stati fraintendimenti numerici: nel 1978, per esempio, nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis Paul Larson riscontrò il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che ne attesti un'effettiva volontà di inserimento, la non casualità della ricorrenza rimane tutta a livello puramente congetturale. Simili illazioni sono più volte state espresse circa le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, convinto anche lui di tale teoria (specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte), dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.

I musicologi hanno trovato altre applicazioni nei rapporti fra le durate (in misure) delle varie parti dei brani musicali, in particolare si trovano tali rapporti nelle opere di Claude Debussy[4][5]e di Béla Bartók[6][7].

Tra i compositori del XX secolo si evidenziano in proposito Stravinsky, Xenakis, Stockhausen (nel cui brano Klavierstücke IX si hanno frequenti rimandi alle successioni fibonacciane nelle segnature di tempo), Luigi Nono, Ligeti, Giacomo Manzoni e Sofija Asgatovna Gubajdulina che disse a proposito di Bartok:

« [...] L'aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea. »

Tuttavia, è fattualmente molto difficile stabilire se l'artista abbia voluto consciamente strutturare l'opera con la sezione aurea o se questa non sia piuttosto frutto della sua sensibilità artistica[8], dato che la sezione aurea si riscontra spesso in natura[9] (come ad esempio nelle stelle marine, in ammoniti, conchiglie, ananas, pigne e nella forma dell'uovo[10]). Infatti, mentre alcuni ritengono che i sopra citati Debussy e Bartok abbiano deliberatamente impiegato la sezione aurea, per altri questo è meno scontato. D'altronde Debussy stesso[11] scrisse esplicitamente al suo editore Durand (nell'agosto 1903):

(FR)
« Vous verrez, à la page 8 de "Jardins sous la Pluie", qu'il manque une mesure; c'est d'ailleurs un oubli de ma part, car elle n'est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; le divine nombre [...]. »
(IT)
« Lei vedrà, alla pagina 8 di "Jardins sous la Pluie" che manca una battuta; è del resto una mia dimenticanza, perché non è nel manoscritto. Eppure, è necessaria, per il numero; il divino numero [...]. »

Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come i già citati Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, applicarono invece sistematicamente e intenzionalmente - a differenza della maggioranza dei loro predecessori - i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza; facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.

Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L’esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci: i Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...] To swing on the spiral [...] Spiral out. Keep going [...]).

In botanica[modifica | modifica wikitesto]

Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l'astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.

La disposizione dei fiori nel capolino del girasole

I numeri di Fibonacci sono presenti anche in altre piante come il girasole; difatti i piccoli fiori al centro del girasole (che è in effetti una infiorescenza) sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario.

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.

I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi come il Broccolo romanesco.

Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico” (vedi Fillotassi).

Nel corpo umano[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore.[senza fonte]

In geometria e in natura[modifica | modifica wikitesto]

La spirale di Fibonacci, creata mediante l'unione di quadrati con i lati equivalenti ai numeri della successione di Fibonacci.

Se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via.

La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole sopra descritta e delle foglie su un ramo.

Leonardo da Pisa o Fibonacci visse vicino a Bejaia, a quell'epoca importante città esportatrice di cera (da ciò deriva la versione francese del nome della città, "bougie", che significa "cera" in francese). Una recente analisi matematico-storica del periodo e della regione in cui visse Fibonacci suggerisce che, in realtà, furono gli apicoltori di Bejaia e le loro conoscenze sulla riproduzione delle api la fonte di ispirazione per la Successione di Fibonacci e non il più noto modello della riproduzione dei conigli[12].

Nell'arte[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d'arte.

Mario Merz li ha usati nell'installazione luminosa denominata Il volo dei numeri, su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino. Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa, inoltre, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997[13]. Lo stesso autore ha inoltre realizzato nel 1994 un'installazione permanente sulla ciminiera della compagnia elettrica Turku Energia a Turku, in Finlandia.

Anche il pittore austriaco Helmutt Bruck ha dipinto quadri omaggianti Fibonacci e prodotto opere in serie di 21.

A Barcellona e a Napoli è stata creata un'installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell'area della Barceloneta, all'interno dell'area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all'interno della stazione Vanvitelli della linea 1 della metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all'interno della stazione vera e propria.

Nell'economia[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche in economia nell'Analisi tecnica per le previsioni dell'andamento dei titoli in borsa, secondo la teoria delle onde di Elliott.

Studiando i grafici storici dei titoli, Ralph Nelson Elliott sviluppò un metodo basato su tredici conformazioni grafiche dette onde, simili per forma ma non necessariamente per dimensione.

A differenza di altre applicazioni grafiche come medie mobili, trendline, macd, rsi ecc. che si limitano ad indicare il livello di resistenza e di supporto e le angolature del trend "Il principio delle onde di Elliott" è l'unico metodo in grado di individuare un movimento del mercato dall'inizio alla fine e quindi di presumere i futuri andamenti dei prezzi.

In informatica[modifica | modifica wikitesto]

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di particolari algoritmi.[senza fonte]

Nei frattali[modifica | modifica wikitesto]

Nei frattali di Mandelbrot, governati dalla proprietà dell'autosomiglianza, si ritrovano i numeri di Fibonacci. L'autosomiglianza difatti è governata da una regola o formula ripetibile, così come la successione di Fibonacci.

In elettrotecnica[modifica | modifica wikitesto]

Una rete di resistori, ad esempio un Ladder Network (Rete a scala), ha una resistenza equivalente ai morsetti A e B esprimibile sia come frazione continua che tramite la sezione aurea o ai numeri di Fibonacci difatti il rapporto Req/R = \phi.

Nei giochi sistemici[modifica | modifica wikitesto]

In qualunque gioco sistemico come totocalcio, superenalotto o roulette i numeri di Fibonacci possono essere utilizzati come montanti per le puntate.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La sequenza A005478 dell'OEIS elenca i primi numeri primi presenti nella successione di Fibonacci; la sequenza A001605 ne elenca invece gli indici
  2. ^ J H E Cohn, Square Fibonacci Numbers Etc in Fibonacci Quarterly, vol. 2, 1964, pp. 109-113.
  3. ^ Ad esempio, fra gli studi più recenti, Michele Emmer, Matematica e cultura, Springer, 2001 - ISBN 8847001412, oppure Ian Bent, William Drabkin, Analisi musicale, EDT srl Editore, 1990 - ISBN 8870630730.
  4. ^ Mario Livio, La Sezione Aurea, Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni - Bur, 2003, p. 280. ISBN 978-88-17-87201-0
  5. ^ (EN) Roy Howat, Debussy in proportion: a musical analysis, Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-31145-8
  6. ^ Mario Livio, La Sezione Aurea, Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni - Bur, 2003, p. 276-279. ISBN 978-88-17-87201-0
  7. ^ (EN) Ernö Lendvai, Béla Bartók: an analysis of his music, Kahn & Averill, 1971. ISBN 9780900707049
  8. ^ Sectio Aurea: Sezione Aurea e Musica: Breve storia del "Numero d'Oro" da Dufay al «progressive-rock» dei Genesis., di Gaudenzio Temporelli
  9. ^ Sezione Aurea in natura, liceoberchet.it. URL consultato il 1º maggio 2014.
  10. ^ Le gioie della matematica di Theoni Pappas, Franco Muzzio Editore. (ISBN 88-7413-112-7)
  11. ^ Di cui si cita la composizione Reflets dans l'eau, in L 110, Images, Set 1 per piano (1905): in questo brano la sequenza degli accordi è segnata dagli intervalli 34, 21, 13 e 8. Si veda in proposito Peter F. Smith, The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics, Routledge, New York, 2003 - p. 83, ISBN 0-415-30010-X
  12. ^ (EN) T.C. Scott e P. Marketos, On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, marzo 2014.
  13. ^ Tuscia Electa

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia e riferimenti[modifica | modifica wikitesto]

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