Rapporto tra musica e matematica

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Busto di Pitagora
« La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere estratte da un principio evidente, che non può essere conosciuto senza l'aiuto della matematica. Devo ammettere che, nonostante tutta l'esperienza che ho potuto acquisire con una lunga pratica musicale, è solo con l'aiuto della matematica che le mie idee si sono sistemate, e che la luce ne ha dissipato le oscurità »
(Jean-Philippe Rameau, Trattato dell'armonia ridotto ai suoi principi fondamentali (1722))

Lo stretto rapporto che intercorre tra la musica e la matematica fu studiato sin dall'antichità: un esempio classico è dato dalla Scuola Pitagorica, a cui si deve la scoperta (i pitagorici vi assegnavano significati mistici) secondo la quale i differenti toni di una scala sono legati ai rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata suona l'ottava superiore, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, e così via.

Molta matematica applicata in campo musicale deriva infatti dallo studio della fisica acustica e dai problemi ad essa collegata. Se la stessa divisione ritmica del metro musicale è indicata con una frazione matematica, oggi sappiamo che alla base di qualunque rumore vi è un contributo di innumerevoli onde stazionarie, e che qualunque suono può essere scomposto in onde sinuisodali mediante l'analisi armonica (espressa matematicamente con l'algoritmo della trasformata di Fourier).

In modo più astratto la musica fu posta in relazione alla matematica anche nel suo aspetto compositivo (che richiede di ripartire i suoni tra le varie altezze, in diversi istanti temporali e tra le diverse voci degli esecutori). Questo tipo di analisi musicale ha avuto illustri cultori in tutti i secoli (si pensi alle geometrie musicali dei canoni di Bach) ed ha conosciuto nuove fortune anche in tempi vicini a noi (nel '900 sorsero ad esempio l'Istituto Kranischstein di Rasmstadt, lo Studio di musica elettronica della Radio di Colonia, il Centro di Fonologia Musicale di Milano e l'IRCAM di Parigi).

A partire dal XVII secolo molti musicisti hanno dato prova di solide conoscenze matematiche (ad esempio Giuseppe Tartini ne diede prova in Trattato di musica secondo la vera scienza dell'armonia nel 1754 e così Iannis Xenakis in Musica formalizzata nel 1971; gli stessi Pierre Boulez e Philip Glass sono laureati in matematica e da essa hanno tratto ispirazione per la loro arte).

Battimenti[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Battimenti (musica).
Battimenti con due onde di frequenza diversa per l'1%

Il fenomeno dei battimenti si ha quando vengono suonate due note di frequenza simile (ma non identica). Si ha allora l'impressione di sentire un suono di frequenza vicina a quelle dei primi due, la cui intensità oscilla però nel tempo tanto più lentamente quanto più le frequenze dei primi due suoni erano ravvicinate. Per questo motivo, i battimenti sono utilizzati per determinare la presenza di note calanti o crescenti quando si intona uno strumento.

La spiegazione di questo fenomeno risiede in parte nella natura fisica delle onde sonore, e in parte nel modo in cui il nostro orecchio percepisce i suoni. Se fissiamo la nostra attenzione sulla sovrapposizione di due toni puri (tali cioè da poter essere rappresentati da onde sinusoidali) e supponendoli, per semplicità, di ampiezza uguale, possiamo applicare le formule di prostaferesi al suono risultante:

\mathrm{sen}(\omega_1 t)+\mathrm{sen}(\omega_2 t) = 2 \cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2} t\right) \cdot  \mathrm{sen}\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right) = 2 \cos(\Omega t) \cdot \mathrm{sen}(\omega t)

Ove si è posto

 \omega = \frac{\omega_1+\omega_2}{2}
 \Omega = \frac{\omega_1-\omega_2}{2}.

Se \Omega \ll \omega , (cioè se  \omega_1 e  \omega_2 sono vicine), si può esprimere la somma dei due suoni come un suono di frequenza intermedia, pari a  \omega , la cui ampiezza sia modulata alla frequenza molto più bassa  \Omega .

Metodi di intonazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi temperamento (musica).

Le scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione la nostra percezione dei suoni con grandezze misurabili (in questo caso la lunghezza della corda messa in vibrazione). In altre parole, se consideriamo i modi di vibrare (armonici) di una corda tesa fissata agli estremi e detta n la frequenza fondamentale si hanno le seguenti corrispondenze (dove f(x) indica la frequenza della nota x):

Nota (x): Do1 Do2 Sol2 Do3 Mi3 Sol3 Sib3 Do4
f(x): n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n

L'intervallo ad esempio tra Do1 e Do2 (raddoppio della frequenza), viene detto intervallo di ottava. Si noti che la parola intervallo riferito alle altezze dei suoni, si riferisce al rapporto tra le frequenze, non alla loro differenza.

Da queste si possono dedurre le frequenze da assegnare a tutte le note della scala di Do: il metodo adottato (che viene detto comunemente temperamento, anche se questo termine si riferirebbe solo ai metodi di intonazione che si discostano da quelli "naturali") ha importanti conseguenze per la costruzione degli strumenti musicali a intonazione fissa (come il pianoforte) e anche per i metodi di composizioni musicale stessi (ad esempio la dodecafonia ideata da Arnold Schoenberg è una conseguenza, portata all'estremo, dell'utilizzo del temperamento equabile). Nella storia il problema del temperamento musicale è stato risolto con coerenza (almeno nella musica occidentale) solo nel XVII secolo da Andreas Werckmeister.

Intonazione pitagorica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi scala pitagorica.

Il metodo pitagorico consiste nel calcolare inizialmente il rapporto di quinta, cioè la frequenza ad esempio della nota Sol1 rispetto alla nota Do1, come segue:

Sol1: si riduce alla prima ottava Sol2 dividendone la frequenza per due, ottenendo: :f(\mathrm{Sol}_1) = f(\mathrm{Sol}_2):2 = (3:2) n

Analogamente Re1 è la quinta di Sol1 (Re2) abbassata di un'ottava: f(Re1) = f(Re2):2 =(3:2 f(Sol1)):2 = 9:8 n

Diviene ora possibile utilizzare i rapporti di quinta e ottava per ricavare le altre note della scala.

Proseguendo con questo metodo, in definitiva, la successione delle note nella scala pitagorica è definita dalla successione delle frequenze che segue (indicate in rapporto alla fondamentale):

Nota: Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2
Frequenza: 1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2

Si noti che in questo modo esistono due soli intervalli (rapporti di frequenza) tra suoni consecutivi: il tono, corrispondente a 9:8, e il semitono o limma pari a 256:243.

La scala pitagorica presenta però l'inconveniente che gli intervalli adottati non si conciliano con l'esigenza di dividere l'ottava in parti proporzionali (per evitare di dover modificare l'intonazione delle singole note al cambiare della tonalità).

Intonazione naturale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Intonazione naturale.

Uno degli inconvenienti della scala pitagorica è che i rapporti di terza e sesta, utilizzando numeratori e denominatori elevati, danno luogo ad accordi poco consonanti quando sono utilizzati assieme ad altre note della scala.

Utilizzando anche gli armonici superiori, e in particolare il quinto armonico - Mi3 -della fondamentale, è possibile ottenere rapporti più consonanti, come segue:

Mi1
Viene ottenuto abbassando di due ottave il quinto armonico della fondamentale:
f(Mi1) = 1/2 (1/2 (5 n)) = 5/4 n
La1
Si ottiene come quinta discendente di Mi2 (quinto armonico abbassato di un'ottava):
f(La1) = 2/3 (1/2 (5 n)) = 5/3 n
Si1
È la quinta di Mi1:
f(Si1) = 3/2 (5/4 n) = 15/8 n

In definitiva:

Nota Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2
Frequenza (scala naturale) 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
Frequenza (scala pitagorica) 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

Riconducendo le note a frazioni più semplici, si ottiene anche un'ottima consonanza della sesta (La1) e migliora il rapporto con la settima (Si1). Si perde però omogeneità negli intervalli: abbiamo ora rapporti di 9/8 (tono maggiore)), 10/9 (tono minore) e 16/15 (semitono diatonico). I rapporti (intervalli) tra tono maggiore e tono minore, pari a 81/80 viene detto comma di Didimo; il rapporto tra tono minore e semitono diatonico, pari a 25/24, viene detto semitono cromatico. Si noti che in questo sistema, l'intervallo Re1-La1 (una quinta) non vale più 3/2, ma 40/27 (detto intervallo di quinta stretta). Il rapporto tra i due intervalli di quinta, che vale 80/81, è l'inverso del comma di Didimo ed è anche detto comma sintonico.

A fronte di una maggior consonanza tra le note la scala naturale introduce, quindi, un certo numero di irregolarità nella successione degli intervalli, che la rende ancora più inadatta di quella pitagorica per l'accordatura degli strumenti ad intonazione fissa (mentre è quella più vicina alle esigenze degli strumenti ad intonazione variabile).

Ciclo delle quinte[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi ciclo delle quinte.

Il problema dell'intonazione, come accennato più sopra, deriva dalla necessità di poter accordare strumenti a corda come il pianoforte in modo da poter suonare in diverse tonalità. Nessuno dei due metodi visti finora permette di risolvere con esattezza questo problema, come si può vedere dal seguente procedimento.

Un modo per accordare uno strumento ad accordatura fissa consiste nel preservare gli intervalli di quinta a partire da una corda base. In questo modo si accorda percorrendo il cosiddetto ciclo delle quinte: Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa♯, Do♯, Sol♯, Re♯, La♯, Fa (o Mi♯), Do, che dopo sette ottave ritorna alla nota fondamentale. È facile vedere che nessuno dei metodi fin qui esaminati può fare sì che il Do8 coincida con quello ottenuto dal ciclo delle quinte: infatti, sia per il temperamento naturale, sia per quello pitagorico, le frequenze delle ottave sono multiple di potenze di due, mentre nel ciclo delle quinte le frequenze sono multiple di potenze di 3/2: nessuna potenza di due è anche una potenza di 3/2. Questo ragionamento vale anche per gli altri rapporti considerati.

Si vede quindi che un accordatore che volesse accordare uno strumento cercando di preservare tutti gli intervalli giusti (terze, quarte, quinte) si troverebbe di fronte ad un problema insolubile e dovrebbe comunque cercare un compromesso: è questo quanto offre il temperamento equabile.

Temperamento equabile[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi temperamento equabile.
Grafico frequenze/cents, temperamento equabile: La freccia rossa indica la nota base (La 440 Hz)
Deviazione relativa dal temperamento equabile. Verde: temperamento pitagorico, rosso: temperamento naturale.

Trovare una soluzione stabile al problema del temperamento richiese diversi secoli. Oltre ai due temperamenti illustrati, ne vennero suggeriti diversi altri: ad esempio il temperamento mesotonico (detto temperamento del tono medio), che conserva gli intervalli di terza (e fu usato attorno al Rinascimento).

Un metodo alternativo a quelli finora considerati (che cercano di preservare esattamente un certo numero di intervalli razionali, oltre a quello d'ottava) è quello di imporre la divisione dell'ottava in un certo numero d'intervalli costanti. (Abbiamo visto che i temperamenti esaminati richiedono almeno due intervalli per la composizione di un'ottava). La soluzione adottata modernamente, detta sistema temperato equabile stabilisce che ogni ottava sia divisa in 12 intervalli, detti semitoni, e distribuisce le note (gradi della scala diatonica) lungo una curva logaritmica: il rapporto di ottava è fissato pari a due come di consueto. L'uso di una scala logaritmica deriva dal fatto fisiologico che il nostro orecchio percepisce come uguali intervalli tra suoni in cui è costante il rapporto tra le frequenze. Questo fatto individua una distribuzione logaritmica dei gradi rispetto alle frequenze per tutti i temperamenti fin qui esaminati: ma mentre il temperamento equabile adotta la stessa distribuzione omogenea su un intervallo di ottava, gli altri cercano di combinare sequenze di intervalli o di mantenere lo stesso intervallo senza rispettare l'intervallo di ottava.

Da quanto si è detto, è facile vedere che un intervallo di un semitono (ottenuto inserendo 12 medi geometrici tra 1 e 2) è pari a \sqrt[12]{2}.

In questo modo, la frequenza di ogni nota corrispondente al tasto di un pianoforte è uguale alla frequenza della nota corrispondente al tasto immediatamente precedente, moltiplicata per \sqrt[12]{2}. Dodici tasti più a destra, si giunge a una nota che ha frequenza  \sqrt[12]{2}^{12}, cioè esattamente doppia rispetto alla nota di partenza.

Questo sistema equabile stabilisce rapporti di frequenza identici a partire da qualsiasi nota individuata dalla tastiera del pianoforte (o del clavicembalo). In questo modo, si può passare da una tonalità all'altra (cioè effettuare modulazioni) senza problemi di accordatura. Le modulazioni sono appunto una caratteristica tipica della musica di Johann Sebastian Bach, che supportò l'introduzione del temperamento equabile con la raccolta "Il clavicembalo ben temperato": quarantotto preludi e fughe (due per ogni tonalità maggiore e minore) da suonarsi, appunto, su un clavicembalo accordato secondo un "buon" temperamento. In realtà il termine "temperato", all'epoca di J. S. Bach, non significava necessariamente "equabilmente temperato", ma semplicemente "con alcuni intervalli di quinta modificati (temperati)". Tra i vari temperamenti in uso a quel tempo, quello equabile era ancora lontano dall'affermarsi, anche per la difficoltà intrinseca di rendere identici tutti e dodici gli intervalli di quinta; con buona probabilità Bach usò il temperamento Werckmeister III[1].

Il metodo di costruzione del temperamento equabile fa sì che le frequenze di tutte le note possano essere espresse come:

f=f_{0}2^{c/1200}

dove f_{0} è la frequenza fondamentale (tipicamente, La4 = 440 Hz) e c esprime lo scostamento da essa, espresso in cent (un'ottava contiene 1200 cent).

Il temperamento equabile, dunque, consente di avere le ottave intonate e composte tramite la ripetizione di un unico intervallo, ma ha l'inconveniente di non utilizzare nessun altro intervallo giusto. D'altra parte si può vedere come, considerando tutte le possibili divisioni dell'ottava fino a 24, si può vedere che esistono solo tre possibili suddivisioni che permettono di comporre la triade maggiore (Do, Sol, Mi) mantenendo un errore complessivo inferiore all'1%: queste sono quella in 12 (corrispondente al temperamento equabile) quella in 24 (corrispondente a una suddivisione in quarti di tono ancora nel temperamento equabile) e quella in 19, che corrisponde ad una suddivisione in terzi di tono che ha suscitato qualche interesse in passato.

A questo proposito, tramite lo sviluppo in frazione continua (i cui convergenti forniscono la successione delle migliori approssimazioni tramite rapporti di numeri interi il più piccoli possibile) del numero log23 (che è la "soluzione" del problema di ottenere un numero intero di ottave tramite successioni di quinte), si vede che il numero di suddivisioni dell'ottava che permette di avvicinarsi di più all'ideale del temperamento (cioè l'equidistanza tra i gradi), senza scostarsi troppo dalla consonanza (cioè usando valori che siano quanto più vicini possibili a rapporti di numeri piccoli) è la suddivisione in 5 gradi, oppure in 12 o in 41 o in 53, suddivisione teorizzata anche in Cina oltre che nei primi del Novecento in Europa. Un ragionamento analogo su può fare sviluppando il numero log25, che appare quando si usino le terze invece delle quinte per l'intonazione[2].

Confronto tra i metodi di intonazione[modifica | modifica sorgente]

La tabella illustra le altezze (espresse in cent) dei gradi della scala maggiore secondo i vari metodi di intonazione.

Grado
della scala
Temperamento
equabile
Interv. Intonazione
naturale
Interv. Intonazione
pitagorica
Interv.
I 0 - 0 - 0 -
II 200 200 204 204 204 204
III 400 200 386 182 408 204
IV 500 100 498 112 498 90
V 700 200 702 204 702 204
VI 900 200 884 182 906 204
VII 1100 200 1088 204 1110 204
VIII 1200 100 1200 112 1200 90

Come si vede, in tutti e tre i metodi l'intervallo di ottava è identico (1200 cents) e sono praticamente uguali anche gli intervalli di quarta (498-500 cents) e di quinta (700-702 cents). Il discorso è ben diverso per gli intervalli di terza maggiore e di sesta maggiore. L'intervallo di terza maggiore naturale vale 386 cents, mentre quello pitagorico è assai crescente: 408 cents; un discorso analogo vale per la sesta. Si può dunque ben capire come mai un intervallo perfettamente consonante secondo la nostra sensibilità come quello di terza maggiore venisse considerato intollerabilmente dissonante agli inizi della polifonia, quando si usava il temperamento pitagorico: la "colpa" era insita nella costruzione pitagorica della scala.

La tabella mostra anche che le approssimazioni introdotte con il temperamento equabile sono più modeste di quelle pitagoriche (l'intervallo di terza maggiore vale 400 cents invece dei 386 cents naturali) e tali da essere ormai ampiamente tollerate. Ciò spiega come mai al nostro orecchio intervalli di terza suonino consonanti anche quando suonati al pianoforte (che è intonato secondo il temperamento equabile).

Nella seguente tabella viene riportato anche il temperamento mesotonico (o medio o del tono di mezzo), raffrontato con gli altri e le relative proporzioni pitagoriche:

Nº semitoni Nome intervallo Intervallo naturale Intervalli in cent
Temperamento equabile Intonazione naturale Intonazione pitagorica Temperamento mesotonico
0 Unisono 1:1 0 0 0 0
1 Seconda minore 16:15 100 112 90 117
2 Seconda maggiore 9:8 200 204 204 193
3 Terza minore 6:5 300 316 294 310
4 Terza maggiore 5:4 400 386 408 386
5 Quarta giusta 4:3 500 498 498 503
6 Quarta aumentata
Quinta diminuita
45:32
64:45
Tritono 600 590
610
612 579
621
7 Quinta giusta 3:2 700 702 702 697
Quinta del lupo: 737
8 Sesta minore 8:5 800 814 792 814
9 Sesta maggiore 5:3 900 884 906 889
10 Settima minore 9:5 1000 1018 996 1007
11 Settima maggiore 15:8 1100 1088 1110 1083
12 Ottava 2:1 1200 1200 1200 1200

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Kyle Gann, An Introduction to Historical Tunings
  2. ^ (EN) Edward G. Dunne, Pianos and Continued Fractions

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Dave Benson, Mathematics and music, Cambridge University Press (2006)
  • Piergiorgio Odifreddi, Penna, pennello, bacchetta: le tre invidie del matematico, Laterza (2005), ISBN 8842079693
  • G. Assayag, H.G. Feichtinger, Mathematics and music. A Diderot mathematical forum, Springer (2002)
  • Andrea Frova, Fisica nella musica, Zanichelli (1999)
  • Giuseppe Gerbino, Canoni ed enigmi, Torre d'Orfeo (1995)
  • James Jeans, Science and music, Cambridge University Press (1937)
  • John Pierce, La scienza del suono, Zanichelli (1987)

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