Temperamento equabile

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Il temperamento equabile è il sistema musicale per la costruzione della scala fondato sulla suddivisione dell'ottava in intervalli tra di loro uguali. Nell'uso più frequente, l'ottava è suddivisa in 12 parti (semitoni). Il temperamento così costituito è denominato 12-TET ed è identificato come "temperamento equabile" per antonomasia dalla maggior parte dei musicisti occidentali.

Già descritto da Aristosseno di Taranto intorno al 320 a.C. questo sistema fu caldeggiato da numerosi intellettuali, tra cui spiccano il matematico fiammingo Simone Stevino verso la fine del XVI secolo ed il musicista Vincenzo Galilei (padre di Galileo Galilei) nel 1581. Tuttavia la sua adozione fu graduale a causa sia dell'estrema difficoltà di ottenere questo temperamento nell'accordatura degli strumenti (per mancanza di intervalli giusti di riferimento) sia del fatto che l'estetica musicale pre-romantica richiedeva nella scala la presenza di alcuni intervalli giusti di cui veniva fatto uso per via del loro carattere "puro", pur essendo essi incompatibili con la suddivisione dell'ottava in parti uguali.

Solo nella seconda metà del XIX secolo, con il graduale rilassamento della necessità di intervalli giusti a favore della flessibilità nel cambiamento di tonalità (modulazione), il temperamento equabile si affermò gradualmente in tutta Europa, sostituendo i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l'ottava non è divisa in parti uguali, quali quelli descritti dal tedesco Andreas Werckmeister nel 1691, Johann Georg Neidhart, Francesco Antonio Vallotti e da altri autori.

Bisogna attendere fino al 1917 perché William Braid White arrivi a sviluppare un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.

La costruzione della scala equabile 12-TET[modifica | modifica wikitesto]

Intervallo Rapporto
Unisono 1
Seconda maggiore \sqrt[12]{2^2}
Terza maggiore \sqrt[12]{2^4}
Quarta giusta \sqrt[12]{2^5}
Quinta giusta \sqrt[12]{2^7}
Sesta maggiore \sqrt[12]{2^9}
Settima maggiore \sqrt[12]{ 2^{11} }
Ottava 2

Il temperamento equabile, nella variante 12-TET, può essere riguardato come "aggiustamento" dei gradi della scala naturale in modo da dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico. Proprio per questo, tra i temperamenti equabili, esso è quello di maggiore diffusione in occidente.

L’idea di base è semplice: suddividere l’ottava in 12 intervalli "elementari" (semitoni temperati) tutti esattamente della stessa ampiezza. Ricordiamo che l'ampiezza di un intervallo corrisponde al rapporto fra le frequenze fondamentali delle due note (e non alla differenza delle frequenze). Poiché l’intervallo di ottava è espresso dalla frazione 2/1 (in quanto la frequenza raddoppia ad ogni ottava), il rapporto di frequenze che identifica il semitono temperato è il numero irrazionale \sqrt[12]{2}. In questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo di un’ottava.

Poiché \sqrt[12]{2} \simeq 1,06 \simeq 18/17, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. Il tono invece vale \sqrt[12]{2} \times \sqrt[12]{2} \simeq 1,1224, cioè è molto più vicino al tono maggiore naturale (9/8 = 1,125) che al tono minore (10/9 \simeq 1,111). Come conseguenza la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale (che è formata da un tono maggiore e un tono minore).

Temperamento equabile e scala logaritmica[modifica | modifica wikitesto]

Benché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto di logaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascun intervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo il logaritmo di tale rapporto. In questo modo, infatti, la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio due toni, che formano una terza maggiore) anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenze corrispondenti, è rappresentata dalla somma dei rispettivi logaritmi. In questo modo la suddivisione dell'ottava in semitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione di una radice dodicesima.

Già nei primi anni del XVIII secolo Gottfried Leibniz aveva ben presente la possibile applicazione di logaritmi alla scala musicale. Tuttavia solo nel 1875 fu proposta da Alexander Ellis la misura logaritmica degli intervalli musicali oggi correntemente adottata: se le frequenze fondamentali di due note sono rispettivamente f_1 e f_2, al loro intervallo viene associato il valore in cent dato da 1200 \cdot \log_2 \left(\frac{f_1}{f_2}\right). Il valore in cent dell'ottava è quindi 1200 e il semitono equabile vale esattamente un dodicesimo dell'ottava, ossia 100 cent (il nome cent deriva appunto dal fatto che 1 cent rappresenta un centesimo di semitono equabile). La notazione in cent può essere applicata a qualunque scala musicale, ma usa comunque come riferimento la scala temperata equabile, mentre l'uso dei rapporti fra frequenze agevola il confronto con gli intervalli della scala naturale.[1]

Vantaggi e svantaggi[modifica | modifica wikitesto]

Grado
della scala
Scala
temperata
Interv. Nome
interv.
I 0
II 200 200 Tono
III 400 200 Tono
IV 500 100 Semitono
V 700 200 Tono
VI 900 200 Tono
VII 1100 200 Tono
VIII 1200 100 Semitono

La scala maggiore temperata
(intervalli espressi in cent)

Il temperamento equabile è dunque un espediente teorico che, eliminando la distinzione tra tono maggiore/minore e semitono diatonico/cromatico, fa coincidere il suono di diesis e bemolli (ad esempio Sol♯ = La♭), ottenendo che il tono si divida in due semitoni uguali. In questo modo anche su strumenti ad intonazione fissa il grado di consonanza degli accordi rimane lo stesso in tutte le tonalità diversamente da quanto accadeva con i temperamenti inequabili (tra i quali, alcuni permettevano di suonare in tutte le tonalità, come esemplificato dal Clavicembalo ben temperato di Bach, ma con effetti volutamente diversi a seconda della tonalità). Il maggiore svantaggio è l'alterazione di tutti gli intervalli giusti (particolarmente rilevante e avvertibile negli intervalli di terza). Tale compromesso è spesso necessario nella prassi musicale occidentale contemporanea ed è quindi tollerato se pure distintamente avvertibile. Il filosofo e matematico Leibniz sottolineava, già nel 1709, che solo ascoltatori allenati riescono a cogliere i compromessi di intonazione della scala equabile:

(FR)
« Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmes l'ancienne division de l'octave en 12 parties egales qu'Aristoxene suivoit deja; et ayant remarqué combien ces intervalles egalement pris approchent des plus utiles de ceux de l'echelle ordinaire; j'ay cru que pour l'ordinaire on pourroit s'y tenir dans la practique; et quoyque les Musiciens et les oreilles delicates y trouveront quelque defaut sensible, presque tous les auditeurs n'en trouveront point, et en seront charmés. »
(IT)
« Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo dei Logaritmi l'antica suddivisione dell'ottava in 12 parti uguali, che Aristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto gli intervalli equalizzati che si ottengono in tal modo approssimano i più utili fra quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo più vi si potrebbe attenere nella pratica; e benché i musicisti e le orecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezione percepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non ne avvertiranno alcuna, e ne saranno estasiati »
(Gottfried Wilhelm von Leibniz)
Nota Frequenza con il temperamento equabile
Do 261,6 Hz
Re 293,7 Hz
Mi 329,6 Hz
Fa 349,2 Hz
Sol 392,0 Hz
La 440,0 Hz
Si 493,9 Hz

Le frequenze di un'ottava approssimate a 0,1 Hz.

In realtà nella prassi musicale contemporanea il temperamento equabile ha affiancato i temperamenti inequabili più che soppiantarli. A causa della loro complessità di accordatura e vista la necessità di eseguire frequentemente musica contemporanea alcuni strumenti ad intonazione fissa (ad esempio il pianoforte e l'arpa moderna) lo adottano quasi sempre, pur con la conseguente perdita di espressività nella musica precedente il Novecento. Altri strumenti ad intonazione fissa (ad esempio organo, arpe antiche e clavicembalo), più legati a tradizioni musicali precedenti, adottano a tutt'oggi temperamenti inequabili in quanto solo così è possibile evidenziare contrasti che altrimenti andrebbero perduti. Gli strumenti ad arco ed i legni possono suonare sia secondo il temperamento equabile sia variare l'altezza delle note di ogni singolo accordo per ottenere gli intervalli naturali, come si fa sistematicamente nella polifonia vocale.

Alcuni strumenti (come la tromba naturale e il corno naturale) sono costruiti per emettere esclusivamente note armoniche (ossia frequenze multiple intere di una singola nota fondamentale). Questi strumenti suonano quindi secondo la scala naturale; nel corno è possibile correggere l'intonazione delle note inserendo la mano destra nel padiglione dello strumento (tecnica attestata a partire dal 1750 e oggi di uso corrente anche nel corno a pistoni). Nella moderna tromba a pistoni il problema di correggere l'intonazione dalla scala naturale al temperamento equabile si pone per quelle note che si ottengono direttamente come armonici e alcuni modelli di tromba includono piccole coulisses addizionali per permettere tale correzione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L'uso della scala in cent semplifica alcuni passaggi nella costruzione matematica delle scale musicali, ma ai fini dell'accordatura degli strumenti (con metodi tradizionali) non è di alcun aiuto: la misura empirica dell'alterazione di ciascun intervallo è infatti data dall'ascolto dei battimenti, che si valutano in riferimento alla scala naturale e ai corrispondenti rapporti di frequenze.

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