Sequenza di Farey

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la sequenza di Farey F_n è una sequenza, per ogni numero naturale positivo n , definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè con massimo comun divisore pari a 1) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e n . Ad esempio

 F_{1} = \left \{ \frac{0}{1} ; \frac{1}{1} \right \}
 F_{2} = \left \{ \frac{0}{1} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{1} \right \}
 F_{3} = \left \{ \frac{0}{1} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{1}\right \}
 F_{4} = \left \{ \frac{0}{1} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} ; \frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ; \frac{1}{1}\right \}
 F_{5} = \left \{ \frac{0}{1} ; \frac{1}{5} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{3} ; \frac{2}{5} ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{5} ; \frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ; \frac{4}{5} ; \frac{1}{1}\right \}

Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni n > 1 , e il termine centrale è sempre \frac{1}{2} .
  • Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale \frac{1}{2} : per ogni termine \frac{n}{d} della sequenza ne esiste anche uno pari a \frac{d-n}{d}
  • Dati due termini consecutivi di una sequenza  \frac{p_i}{q_i} , \frac{p_{i+1}}{q_{i+1}} abbiamo che
 p_{i+1} \cdot q_i - p_i \cdot q_{i+1} = 1
  • Dati tre termini consecutivi di una sequenza  \frac{p_{i-1}}{q_{i-1}} , \frac{p_i}{q_i} , \frac{p_{i+1}}{q_{i+1}} abbiamo che
\frac{p_i}{q_i} = \frac{(p_{i-1} + p_{i+1})}{(q_{i-1} + q_{i+1})} \,
Di conseguenza, per calcolare i termini di una successione F_{n+1} data la successione F_{n} è sufficiente inserire la frazione mediana
\frac{a+b}{c+d}
tra i termini \frac{a}{c} e \frac{b}{d} e così via.
  • Definito come N(n) \, il numero di termini della sequenza di Farey F_n \, , abbiamo che
N(n)= 1 + \sum_{k=1}^n \phi(k)  \,

Dove \phi(k) \, è la funzione phi di Eulero.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica