Identità di Cassini

L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 dal matematico ed astronomo italiano Giovanni Cassini, è un'identità che si applica ai numeri di Fibonacci.

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definita assegnando ai primi due valori

$F_{0}=0$, $F_{1}=1$

e successivamente definendo i restanti valori della successione come la somma dei due precedenti e cioè:

$F_{n}:=F_{n-1}+F_{n-2}$ $\forall n\geq 2$

L'identità di Cassini asserisce che per ogni n ≥ 2 si ha:

$F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

Dimostrazione

Dimostriamo la proprietà procedendo per induzione su n.

Base Induttiva:

Per n = 2 si ha: $F_{3}\cdot F_{1}-F_{2}^{2}=2\cdot 1-1=1=(-1)^{2}$. Quindi l'enunciato è valido per n = 2.

Passo Induttivo:

Supponiamo che la proprietà sia valida per un certo n, ossia che valga $F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$, e dimostriamo che allora vale anche per n + 1, cioè che si ha $F_{n+2}\cdot F_{n}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$.

Da come è definita la successione di Fibonacci, si ricava che $F_{n-1}=F_{n+1}-F_{n}$; sostituendo nell'ipotesi induttiva si ottiene:

$F_{n+1}\cdot (F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

da cui segue che

$F_{n+1}^{2}-F_{n+1}\cdot F_{n}-F_{n}^{2}=F_{n+1}^{2}-F_{n}\cdot (F_{n+1}+F_{n})=(-1)^{n}$

Ma $F_{n+1}+F_{n}=F_{n+2}$, dunque:

$F_{n+1}^{2}-F_{n}\cdot F_{n+2}=(-1)^{n}$

e moltiplicando ambo i membri per $-1$ si ha

$F_{n}\cdot F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$.

Generalizzazioni

Nel 1879, il matematico belga Eugene Catalan propose la seguente generalizzazione:

$F_{n-r}F_{n+r}-F_{n}^{2}=(-1)^{n-r+1}F_{r}^{2}$

che, ponendo $r=1$, diventa

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}F_{1}^{2}=(-1)^{n}$

cioè l'identità di Cassini.

Più recentemente, nel 1989, Steven Vajda ha pubblicato questa ulteriore generalizzazione:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$

Ovviamente anche da questa identità si ricavano come casi particolari le altre due:

• l'identità di Cassini si ottiene ponendo $i=-1,\;j=1$
• l'identità di Catalan si ottiene ponendo $i=-r,\;j=r$

applicando l'estensione di Fibonacci agli indici negativi: $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ .

Dimostrazione dell'identità generalizzata

Vogliamo dimostrare che

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$

Poniamo

${\begin{aligned}\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}$

Applicando la Formula di Binet, secondo cui si ha che

$F_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

e osservando che $\Phi \varphi =-1$, per il primo prodotto al primo membro risulta

${\textstyle 5F_{n+i}F_{n+j}=(\Phi ^{n+i}-\varphi ^{n+i})(\Phi ^{n+j}-\varphi ^{n+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}}$

Per il secondo prodotto a primo membro abbiamo

${\textstyle 5F_{n}F_{n+i+j}=(\Phi ^{n}-\varphi ^{n})(\Phi ^{n+i+j}-\varphi ^{n+i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})(-1)^{n}}$

Sottraendo la seconda espressione dalla prima, si ottiene

${\textstyle 5(F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j})=(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j}-\Phi ^{j}\varphi ^{i}-\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}=(-1)^{n}[\Phi ^{i}(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})-\varphi ^{j}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})]=(-1)^{n}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})=5(-1)^{n}F_{i}F_{j}}$

e infine, dividendo per $5$,

$$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$$