Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Teorema di Burnside

In matematica, il teorema di Burnside nella teoria di gruppo si applica ad un gruppo finito. Il teorema dà una condizione sufficiente per la solubilità di un gruppo finito. Il risultato di Burnside è importante nella dimostrazione del famoso teorema di Feit-Thompson, che generalizza ad un qualsiasi gruppo di ordine dispari l'implicazione di essere risolvibile. Questo è stato cruciale nella classificazione dei gruppi semplici finiti.

È stato uno dei primi grandi successi della teoria delle rappresentazioni. In effetti per molti anni l'unica dimostrazione era solo quella che coinvolgeva i caratteri di gruppo, sebbene alcuni casi di ordine inferiore possano essere trattati utilizzando solo i teoremi di Sylow.

Storia

Il teorema è stato provato da William Burnside utilizzando la teoria delle rappresentazioni. Diversi casi speciali del teorema erano stati precedentemente dimostrati da Burnside, Jordan e Frobenius. John Thompson ha sottolineato che una prova che evita l'uso della teoria della rappresentazione si ottiene utilizzando il teorema dell'N-gruppo, e questo è stato fatto esplicitamente da Goldschmidt per gruppi di ordine dispari, e da Bender per gruppi di ordine pari. Matsuyama ne ha semplificato le dimostrazioni.

Enunciato

Gruppo risolubile

Sia G un gruppo finito di ordine $|G|$, siano p₁ e p₂ due numeri primi, n₁ e n₂ degli interi non-negativi, allora:

Teorema di Burnside (1904)  — 

G-set X finito, $|G|\ =\ {p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}},\quad p_{1},p_{2}\in P\,\,n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \,\implies \,\exists \,H_{j}\leq G\quad j=0,\ldots ,k-1\,:$

${\begin{array}{lcl}1.&G=H_{0}\trianglerighteq H_{1}\ldots H_{j}\trianglerighteq H_{j+1}\ldots \trianglerighteq H_{k}=\{e_{G}\},&\\2.&Z(H_{j}/H_{j+1})=H_{j}/H_{j+1}&\end{array}}$

Quindi deve esistere una serie normale di sottogruppi che inizia e finisce nei sottogruppi banali G e {e_G} e il gruppo quoziente tra due sottogruppi prossimi è abeliano. In altre parole ciascun gruppo semplice finito non abeliano ha un ordine divisibile per almeno tre numeri primi distinti. Nel caso $|G|\ =\ {p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}}{p_{3}}^{n_{3}}$

Preliminari

Un intero algebrico è un numero complesso, che è una radice di un polinomio intero monico. Richiamiamo due fatti:

1. L'insieme degli interi algebrici ${\mathcal {I}}$ forma un sottoanello del campo complesso $\mathbb {C}$
2. Se un intero algebrico è un numero razionale, allora è un intero ordinario

Consideriamo un gruppo G finito, e supponiamo di considerare l'insieme degli elementi rappresentativi dell'azione di coniugio

$\{g_{1}=e_{G},\ g_{2}\ldots ,g_{r}\}\subseteq G$

cioè ha r classi di coniugio distinte $Co(g_{i}),\quad |Co(g_{i})|=h_{i}=\left[G:C_{G}(g_{i})\right]$ con $C_{G}(g_{i})$ il corrispondente centralizzatore.

Adesso consideriamo l'omomorfismo associato ad ogni elemento rappresentativo

${\begin{aligned}R_{g_{i}}=\rho (g_{i})\ \colon G&\to \mathrm {GL} (m_{i},\mathbb {C} )\\g_{i}&\mapsto \rho (g_{i})\,=\,({c^{i}}_{jk})\quad j,k=1,\ldots ,m_{i}\\\end{aligned}}$

dove $\rho (g_{i})$ è la rappresentazione in campo complesso irriducibile dell'elemento rappresentativo $g_{i}\in G$ di grado o dimensione $m_{i}\,=\,\chi _{i}(e_{G})\,=\,\operatorname {tr} \ R_{g_{i}}(e_{G})\,=\,\operatorname {tr} \ \operatorname {I} _{m_{i}}=1+\ldots +1$, dove $\operatorname {I} _{m}$ indica la matrice identità.

In particolare, la rappresentazione banale, con m₁ = 1, associata all'elemento neutro del gruppo G, è formata dagli scalari dello spazio vettoriale cioè:

$\rho _{1}(e_{G})\colon G\to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )$

Alla generica rappresentazione associamo il carattere $\chi (g_{i})=\operatorname {tr} \ \rho (g_{i})=\operatorname {tr} \ R_{g_{i}}\quad g\in G,\quad i=1,2,\ldots ,r$, dove $\operatorname {tr}$ indica la traccia di tale matrice.

Allora:

$\left(\chi (g_{i})\right)_{1\,\leq i\,\leq r}$

denota l'insieme dei caratteri irriducibili di G sopra $\mathbb {C}$ (qui $\chi (e_{G})$ denota il carattere banale). Vogliamo evidenziare che $\chi _{i}(g)$ è dato dalla somma delle radici del particolare polinomio intero monico $f(x)=(x^{m_{i}}-1)\,\in \mathbb {Z} [x]$:

$\chi _{i}(g)={\omega }_{1}+\ldots +{\omega }_{j}+\ldots +{\omega }_{m_{i}}\quad f({\omega }_{j})=0\quad \left|\chi _{i}(g)\right|\leq m_{i}\quad j=1,\ldots ,m_{i}$

poichè l'insieme degli interi algebrici ${\mathcal {I}}$ ha una struttura algebrica di anello, allora qualsiasi somma delle radici dell'unità è un intero algebrico, in particolare $\chi _{i}(g)\in {\mathcal {I}}$

Un'altro risultato importante afferma che:

$h_{i}\,\chi _{i}(g)=\lambda _{i}\,m_{i};\quad [G:C_{G}(g_{i})]\,\chi _{i}(g)=\lambda _{i}\,\chi _{i}(1)$

dove oltre $\chi _{i}(g)$ anche $\lambda _{i}$ sono interi algebrici.

• Il numero complesso q^dχ(g)/m è un intero algebrico.

  Un insieme di funzioni centrali a valori interi su G, $Z\left(\mathbb {Z} [G]\right)$ dove $\mathbb {Z} [G]$ è un anello di gruppo, è un anello commutativo, finito sopra il campo $\mathbb {Z}$. Tutti i suoi elementi sono così estensioni su $\mathbb {Z}$, in particolare la trasformazione u che ha valore 1 sulla classe di coniugio di g e 0 altrimenti.

  La trasformazione

  ${\begin{aligned}A\colon Z(\mathbb {Z} [G])&\to \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{m})\\f&\mapsto \sum _{s\in G}f(s)\rho (s)\\\end{aligned}}$

  è un omomorfismo di anelli. Essendo $\rho (s)^{-1}\,A(u)\,\rho (s)\,=\,A(u)\quad \forall s\in G$, per il lemma di Schur A(u) è una omotetia λI_m. La sua traccia

  $m\lambda =\sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).$

  Essendo λI_m l'immagine omomorfica di un elemento esteso, ciò prova che il numero complesso $\lambda =q^{d}\,{\frac {\chi (g)}{m}}$ è un intero algebrico.

• Il numero complesso χ(g)/m è un intero algebrico.

  Essendo $mcm(m,q)\,=\,1$, per l'identità di Bézout vi sono due interi x e y per cui:

  $x\,q^{d}+y\,m\,=\,1\quad {\text{perciò}}\quad x{\frac {q^{d}\chi (g)}{m}}+y\chi (g)\,=\,{\frac {\chi (g)}{m}}.$

  Poiché una combinazione lineare con coefficienti interi algebrici è ancora un intero algebrico, ciò dimostra l'affermazione.

Dimostrazione

La seguente dimostrazione, che utilizza più affermazioni da dimostrare rispetto a quella iniziale di Burnside, è per assurdo o contraddizione.

Sia p^aq^b il più piccolo prodotto di due potenze prime, tale che esista un gruppo non risolubile G il cui ordine è uguale a questo numero. Analizziamo i possibili casi:

• G è un gruppo semplice, con centro banale e a ≠ 0.

  un gruppo semplice è un particolare gruppo risolvibile che ammette la serie normale

  ${\begin{array}{lcl}1.&G=H_{0}\trianglerighteq H_{1}=\{e_{G}\},&\\2.&Z(H_{0}/H_{1})=H_{0}/H_{1}=\{e_{G}\},&\end{array}}$

  Se G ha un sottogruppo normale proprio non banalel H, allora (a causa della minimalità di G), H e G/H sarebbero risolvibili, quindi anche "G", il che contraddice la nostra ipotesi. Quindi G è semplice.

  Se a = 0, G sarebbe un q-gruppo finito, quindi nilpotente, e quindi risolvibile.

  Infine G non può essere abeliano, altrimenti sarebbe risolvibile. Poiché G è semplice, il suo centro deve quindi essere banale.

• Esiste una classe di coniugazione che ha ordine $\mathbf {|Co(g)|=q^{d},\quad d>0}$

  Per il primo dei teoremi di Sylow, G ha un sottogruppo S di ordine p^a. Because S is a nontrivial p-group, its center Z(S) is nontrivial. Fix a nontrivial element $g\in Z(S)$. The number of conjugates of g is equal to the index of its stabilizer subgroup G_g, which divides the index q^b of S (because S is a subgroup of G_g). Hence this number is of the form q^d. Inoltre, l'intero d è strettamente positivo, infatti g è non banale e quindi non centrale in G.

• Esiste una rappresentazione irriducibile ρ non banale con carattere il numero complesso χ(g)≠ 0, tale che $\mathbf {mcm(n,q)\,=\,1}$ (cioè ha dimensione o grado n non divisibile per q).

  Sia (χ_i)_{1 ≤ i ≤ h} be the family of irreducible characters of G over $\mathbb {C}$ (qui χ₁ denota il carattere banale). Essendo g non della classe ${Co}_{1}(e_{G})$, la relazione di ortogonalità per le colonne della tabella dei caratteri è:

  $0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).$

  Now the χ_i(g) are algebraic integers, because they are sums of roots of unity. Se tutti i caratteri irriducibili non banali che non si annullano in g assumono un valore divisibile per q a 1, si deduce che

  $-{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)$

  è un intero algebrico (poiché è una somma di multipli interi di interi algebrici), il che è assurdo. Ciò dimostra l'affermazione.

• L'immagine di g, nella rappresentazione ρ, è una omotetia.

  Il numero complesso $\zeta \,=\,{\frac {\chi (g)}{n}}$ abbiamo visto essere un intero algebrico, quindi la sua norma N(ζ) (i.e. il prodotto dei suoi coniugati, that is the roots of its minimal polynomial su $\mathbb {Q}$) è un intero non nullo. Adesso ζ è la media delle radici dell'unità (gli autovalori di ρ(g)), stesso vale per i suoi coniugati, e tutti hanno valore assoluto minore o uguale a 1. Poiché il valore assoluto del loro prodotto N(ζ) è maggiore o uguale a 1, il loro valore assoluto deve essere tutto 1, in particolare ζ, il che significa che gli autovalori di ρ(g) sono tutti uguali, e quindi ρ(g) è una omotetia.

• Conclusione

  Sia $N\,=\,\operatorname {ker} \rho \trianglelefteq G$. L'omotetia ρ(g) è centrale in Im(ρ) (canonicamente isomorfo a G/N), mentre g non è centrale in G. Di conseguenza, il sottogruppo normale N del gruppo semplice G non è banale, quindi è uguale a G, il che contraddice il fatto che ρ è una rappresentazione non banale.

Ma questo risultato è un assurdo perchè contraddice l'ipotesi iniziale, quindi abbiamo provato il teorema. ∎

Note

Postille

Bibliografia

• (EN) Bender Helmut, A group theoretic proof of Burnside's p^aq^b-theorem., in Math. Z., vol. 126, n. 4, 1972, pp. 327-338, DOI:10.1007/bf01110337.
• (EN) W. Burnside, On Groups of Order p^αq^β, in Proc. London Math. Soc., s2-1 (1), 1904, pp. 388–392, DOI:10.1112/plms/s2-1.1.388.
• (EN) Goldschmidt David M., A group theoretic proof of the p^aq^b theorem for odd primes, in Math. Z., vol. 113, n. 5, 1970, pp. 373–375, DOI:10.1007/bf01110506.
• (EN) Matsuyama Hiroshi, Solvability of groups of order 2^aq^b., in Osaka J. Math., vol. 10, 1973, pp. 375-378.
• (EN) James, Gordon; Liebeck, Martin, 31, in Representations and Characters of Groups, 2ª ed., CUP, 2001, ISBN 0-521-00392-X.