Lemma di Schur

In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se $M$ e $N$ sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo $G$ e $\phi\;$ è un morfismo lineare da $M$ a $N$ che commuta con l'azione del gruppo, allora $\phi\;$ è invertibile oppure $\phi=0\;$. Un importante caso particolare è quello in cui $M=N$ e $\phi$ è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jaques Dixmier.

Formulazione nel linguaggio dei moduli

Se $M$ e $N$ sono due moduli semplici su un anello $R$ allora ogni omomorfismo $f: M \to N$ di $R$-moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che $f$ è un omomorfismo di moduli significa che

$f(rm) = rf(m)\,$ per ogni $m \in M$ e $r \in R$.

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia $R$ un'algebra sul campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi e sia $M = N$ un $R$-modulo semplice di dimensione finita su $\mathbb{C}$. Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo $M$ è un corpo; esso contiene $\mathbb{C}$ nel suo centro, è finito-dimensionale su $\mathbb{C}$ e quindi coincide con $\mathbb{C}$. Segue che l'anello degli endomorfismi di $M$ è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una $k$-algebra si dice assoultamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a $k$. Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo $k$, ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di $k$.

Formulazione nel linguaggio delle matrici

Sia $G$ un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che $G$ è un insieme di matrici quadrate di ordine $n$ con elementi complessi, e $G$ è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che $G$ sia irriducibile: non esistono sottospazi $V$ oltre a $0$ e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di $G$. In altre parole,

$\text{se }gV\subseteq V\text{ per ogni }g\text{ appartenente a }G,\text{ allora o }V=0\text{ oppure }V=\mathbb{C}^n.$

Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se $A$ è una matrice complessa di ordine $n$ che commuta con tutte le matrici in $G$, allora $A$ è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione 1.

Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppi

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo $G$ è un modulo sull'algebra gruppale di $G$.

Siano $G$ un gruppo, $p:G \to GL(V)$, $q:G \to GL(W)$ due rappresentazioni irriducibili di G su un campo fissato K; $\mbox{T:}$ $V \rightarrow \ W$ un'applicazione lineare G-invariante, cioè tale che $T(p(g)(v))=q(g)(T(v))$ per ogni $v \in V$, $g \in G$. Allora:

1. o $T=0$, oppure $T$ è un isomorfismo;
2. se $V=W$, $p=q$ e K è algebricamente chiuso allora $T$ è la moltiplicazione per uno scalare.

Dimostrazione

1. Essendo $T$ G-invariante, Ker(T) e Im(T) sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché $p$ è irriducibile, o $KerT=0$ o $KerT=V$. Se $KerT=V$ allora $T=0$. Se $KerT=0$ allora $T$ è iniettiva. Poiché $q$ è irriducibile segue Im(T)=W e dunque $T$ è suriettiva. Perciò $T$ è un isomorfismo.
2. $\mbox{T:}$ $V \rightarrow \ V$ è un operatore lineare; sia $\lambda \in K$ un suo autovalore (esiste perché K è algebricamente chiuso): allora $Ker(T-\lambda I) \ne \ 0$, in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare $S:=T-\lambda I$ è anch'esso G-invariante. Poiché $KerS \ne \ 0$ e $p$ è irriducibile si ha che $KerS=V$ e quindi $S=0$. Perciò $T-\lambda I=0$ e quindi $T=\lambda I$. Ovvero $T$ è la moltiplicazione per uno scalare.

Voci correlate

• Rappresentazione dei gruppi
• Rappresentazioni dei gruppi di Lie
• Teoria dei caratteri

Bibliografia

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (Berlin, New York: Springer-Verlag).

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