Teoria dei caratteri

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La teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di Burnside.

Definizione di carattere[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia \rho :G \to \mathrm{GL}(V) una rappresentazione del gruppo G su V. Il carattere della rappresentazione \rho è, per definizione, la mappa \chi_{\rho}:G \to K che manda g \in G nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo \rho(g):

\chi_{\rho}(g)=\mbox{Tr} (\rho (g)).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.

Sia \rho una rappresentazione del gruppo G sullo spazio vettoriale V e sia \chi_{\rho} il suo carattere allora possiamo dire che:

  1. \chi(1_G) è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V infatti:
    \chi(1_G)=\mathrm{Tr}(\rho(1_G))=\mathrm{Tr}(1_{\mathrm{GL}(V)})
    e dato che 1_{\mathrm{GL}(V)} è la matrice identica dello spazio vettoriale V la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
  2. \chi è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se x e g sono due elementi di G, si ha \chi(g^{-1}xg)=\chi(x). Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
  3. Due rappresentazioni \rho :G \to \mathrm{GL}(V) e \pi :G \to \mathrm{GL}(U) si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo \phi :V \to U tale che:
    \phi\circ\pi(g)\circ\phi^{-1}=\rho(g)
    per ogni elemento g del gruppo G. Quindi se \pi e \rho sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere (\chi_{\pi} = \chi_{\rho}).
  4. Se G è un gruppo finito di ordine n allora \chi(g) appartiene al sovracampo di K generato dalle radici n-esime di 1. Infatti poiché g^n=1 per ogni g \in G si ha anche \rho(g)^n=1 per ogni g \in G e quindi gli autovalori di \rho(g) sono radici n-esime di 1.

Carattere di una somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K e \pi:G \to \mathrm{GL}(V), \rho:G \to \mathrm{GL}(W) due rappresentazioni di G. Se definiamo \pi_g:=\pi(g) e \rho_g:=\rho(g), la somma diretta di \pi e \rho è la rappresentazione

\pi \oplus \rho:G \to \mathrm{GL}(V \oplus W)

definita così:

(\pi \oplus \rho)_g := \pi_g \oplus \rho_g,

dove \pi_g \oplus \rho_g è l'applicazione che manda (v,w), appartenente V \times W, in (\pi_g v,\rho_g w), sempre appartenente a V \times W.

Si ha evidentemente

\chi_{\pi \oplus \rho}(g) = \mathrm{Tr}((\pi \oplus \rho)_g) = \mathrm{Tr}(\pi_g \oplus \rho_g) = \mathrm{Tr}(\pi_g) + \mathrm{Tr}(\rho_g) = \chi_{\pi}(g)+\chi_{\rho}(g),

questo per ogni g in G e quindi:

\chi_{\pi \oplus \rho} = \chi_{\pi}+\chi_{\rho}.

Carattere di un prodotto tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K e \pi:G \to \mathrm{GL}(V), \rho:G \to \mathrm{GL}(W) due rappresentazioni di G. Se definiamo \pi(g)=\pi_g e \rho(g)=\rho_g, il prodotto tensoriale di \pi e \rho è la rappresentazione

\pi \otimes \rho:G \to \mathrm{GL}(V \otimes_K W)

definita così:

(\pi \otimes \rho)_g := \pi_g \otimes \rho_g,

dove \pi_g \otimes \rho_g manda

\sum_i v_i \otimes w_i

in

\sum_i \pi_g(v_i) \otimes \rho_g(w_i).

Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se x e y sono le matrici di due applicazioni lineari f:V \to V, g:W \to W rispetto alle basi \{v_i\ |\ i\} di V e \{w_i\ |\ i\} di W, il loro prodotto tensoriale f \otimes g è rappresentato dal prodotto di Kronecker di x e y, indicato con x \otimes y, rispetto alla base \{v_i \otimes w_j\ |\ i,j\} di V \otimes_K W.

Dalla proprietà

\mathrm{tr}(x \otimes y)=\mathrm{tr}(x) \mathrm{tr}(y)

segue che

\chi_{\pi \otimes \rho} = \chi_{\pi} \cdot \chi_{\rho}.

Carattere della potenza simmetrica seconda[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale V su K di dimensione n, la potenza simmetrica m-esima di V è lo spazio vettoriale su K, indicato con S^m(V), generato dai prodotti simmetrici del tipo v_1 \cdot \dots \cdot v_m dove i v_i appartengono a V e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare \varphi :V \to W si può associare la sua potenza simmetrica m-esima

S^m(\varphi):S^m(V)\to S^m(W)

mandando v_1\dots v_m in \varphi(v_1)\dots \varphi(v_m).

Se \{e_1,\dots e_n\} è una base di V allora una base di S^m(V) è data dai prodotti {e_1}^{i_1}\cdot \dots \cdot {e_n}^{i_n} dove i_1+\dots+i_n=m. Si ha quindi:

\dim_K(S^m(V))=\binom{n+m-1}{m}.

Ad ogni rappresentazione \rho :G \to \mathrm{GL}(V) possiamo associare la rappresentazione S^m(\rho):G \to \mathrm{GL}(s^m(V)) definita mandando g in S^m(\rho(g)). Se m=2, si ha

\chi_{S^2(\rho)}(g)=\frac{1}{2}\left(\chi_{\rho}(g)^2+\chi_{\rho}(g^2)\right)

Carattere della potenza esterna seconda[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale V sul campo K, di dimensione n e con la base \{v_1,\dots v_n\}, la potenza esterna m-esima di V è lo spazio vettoriale su K indicato con \Lambda^m(V) e generato dai prodotti multilineari alternanti v_1 \wedge \dots \wedge v_m dove i v_i sono vettori di V e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione \varphi :V\to W si può associare la sua potenza esterna m-esima \Lambda^m(\varphi):\Lambda^m(V)\to\Lambda^m(W) mandando v_1 \wedge \dots \wedge v_m in \varphi(v_1) \wedge \dots \wedge \varphi(v_m).

Se \{e_1,\dots,e_n\} è una base per V allora una base di \Lambda^m(V) è data dai prodotti e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_m} dove i_1 < \dots < i_m \in \{1, \dots ,n\}. Si ha quindi

\dim_K(\Lambda^m(V))=\binom{n}{m}

Ad ogni rappresentazione \rho:G\to \mathrm{GL}(V) possiamo associare la rappresentazione \Lambda^m(\rho):G\to \mathrm{GL}(\Lambda^m(V)) definita mandando g in \Lambda^m(\rho_g). Si ha

\chi_{\Lambda^2(\rho)} (g) = \frac{1}{2} (\chi_{\rho}(g)^2-\chi_{\rho}(g^2)).

Relazioni di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Siano (U,\pi), (V,\rho) due rappresentazioni del gruppo finito G sul campo K, e sia \varphi:U \to V un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di K non divide l'ordine di G definiamo

\varphi_0 := \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho_g \varphi \pi_g^{-1}.

Si tratta di un'applicazione K-lineare U \to V, ed ha la proprietà fondamentale di essere G-invariante, nel senso che \varphi_0(\pi_h(u))=\rho_h(\varphi_0(u)) per ogni h \in G, u \in U.

Nel caso particolare in cui il campo K è algebricamente chiuso e le rappresentazioni (U,\pi), (V,\rho) sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:

  1. se \pi \not\cong \rho allora \varphi_0=0;
  2. se \pi=\rho allora \varphi_0 è la moltiplicazione per lo scalare \mathrm{tr}(\varphi)/\dim_K(V).

La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto \lambda l'autovalore di \varphi_0 si ha

\lambda \dim_K(V) = \mathrm{tr}(\varphi_0) = \mathrm{tr}\left(\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho_g \varphi \rho_g^{-1}\right) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathrm{tr}(\rho_g \varphi \rho_g^{-1}) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathrm{tr}(\varphi) = \mathrm{tr}(\varphi).

Pensiamo ora a \pi_g,\ \rho_g come a matrici ed indichiamone le componenti con \pi_{ij}(g) e \rho_{hk}(g) con 1 \leq i, j \leq m, 1 \leq h, k \leq n. Se K è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di G, le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.

  1. Se \pi \not\cong \rho allora
    \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \pi_{ij}(g) \rho_{hk}(g^{-1}) =0.
  2. Se \pi=\rho allora
    \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \pi_{ij}(g) \pi_{hk}(g^{-1})=\frac{1}{n} \delta_{ik} \delta_{jh}.

Qui il simbolo \delta_{ij} è il delta di Kronecker.

Prima relazione di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo G sul campo K si scrive come somma di caratteri irriducibili.

Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni G \to K:

B(\phi,\psi):=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \phi(g) \psi(g^{-1}).

Il risultato precedente implica che se \chi e \theta sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito G sugli spazi vettoriali V, W, entrambi nel campo K, il valore di B(\chi,\theta) è 1 se \chi=\theta ed è 0 se \chi \neq \theta. Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.

La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:

  1. Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti \chi_1, \dots ,\chi_s caratteri irriducibili distinti del gruppo finito G, e valga a_1 \chi_1+ \dots +a_s \chi_s = 0 con a_1, \dots ,a_s \in K. Allora per ogni i=1, \dots ,s si ha
    0=B(a_1 \chi_1+\dots+a_s \chi_s,\chi_i) = a_i B(\chi_i,\chi_i) = a_i.
  2. Il numero di caratteri irriducibili di G è minore o uguale del numero di classi di coniugio di G. Siano infatti C_1, \dots ,C_t le classi di coniugio di G. Data C=C_i possiamo considerare la funzione f_C:G \to K che vale 1 su C e 0 fuori da C. Risulta che le funzioni f_{C_1}, \dots ,f_{C_t} sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di G sono al più t.
  3. Siano \theta e \chi i caratteri delle rappresentazioni irriducibili U e V di G, ed assumiamo che \chi sia irriducibile. Allora la molteplicità di \chi in \theta è uguale a B(\theta,\chi). In altre parole detti \chi_1, \dots ,\chi_s caratteri irriducibili tali che \theta=\chi_1+\dots+\chi_s (esistono per il teorema di Maschke), si ha che
    B(\theta,\chi)=B(\chi_1,\chi)+...+B(\chi_s,\chi)
    inoltre B(\chi_i,\chi) vale 1 se e solo se \chi_i=\chi, altrimenti vale 0. In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
  4. Sia \chi un carattere di G. Si ha B(\chi,\chi) \in \mathbb{N} e B(\chi,\chi)=1 se e solo se \chi è irriducibile. Infatti detta \chi=m_1 \chi_1+\dots+m_s \chi_s la decomposizione di \chi come somma di caratteri irriducibili, si ha:
    B(\chi,\chi)=m_1^2+...+m_s^2.
  5. Si dice carattere principale di G e si indica con \chi_1 o più semplicemente con 1 il carattere tale che \chi_1\left(g\right)=1 per ogni g \in G. Si tratta di un carattere irriducibile dato che B(1,1)=1. Per ogni carattere irriducibile \chi diverso da 1 la prima relazione di ortogonalità dice che B(\chi,1)=0, è cioè la seguente uguaglianza:
    \sum_{g \in G} \chi(g) = 0.
  6. Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione \chi relativo ad un'azione transitiva si ha B(\chi,1)=1, ovvero \chi=1+\theta per un opportuno carattere \theta che non ha 1 nella decomposizione. Siccome
    B(\chi-1,\chi-1)=B(\chi,\chi)-1=r-1
    dove r è il rango del gruppo di permutazione G, possiamo per esempio dedurre che G è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come 1+\theta per qualche carattere irriducibile \theta che non ha 1 nella decomposizione.
  7. La rappresentazione regolare di G è la rappresentazione lineare associata all'azione di G su G per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente: \chi(g)=0 se g \neq 1, e \chi(1)=|G|. Siano ora \chi_1,\dots,\chi_s i caratteri irriducibili di G. Calcoliamo
    B(\chi,\chi_i)=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g) \chi_i(g^{-1}) = \frac{1}{|G|} \cdot |G| \cdot \chi_i(1) = \chi_i(1).
    In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di G con molteplicità uguale al suo grado. Detto n_i il grado di \chi_i per i=1,\dots,s, si ha quindi n_1^2+\dots+n_s^2 = B(\chi,\chi) = |G|. Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o n-esimo teorema di Burnside.

Seconda relazione di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo finito e siano \chi_1,...,\chi_s le sue rappresentazioni irriducibili sul campo \mathbb{C} dei numeri complessi. Dati h,g \in G si ha

\sum_{i=1}^s \chi_i(h) \overline{\chi_i(g)} = |C_G(h)|

se h e g sono coniugati in G, altrimenti

\sum_{i=1}^s \chi_i(h) \overline{\chi_i(g)} = 0.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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