Topologia di sottospazio

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In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se è un sottoinsieme di uno spazio topologico , la topologia indotta su dalla topologia su è la seguente: un sottoinsieme di è aperto se e solo se esiste un aperto di tale che . In altre parole, gli aperti di sono le intersezioni degli aperti di (cioè gli aperti ) con .[1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di in .

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di , mentre si dice spazio ambiente.

Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.

Alternativamente, si può definire la topologia su in uno dei modi seguenti:

  • La topologia su è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione continua.
  • La topologia su è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico una applicazione è continua se e solo se lo è la sua composizione con l'inclusione .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • I numeri interi vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali . Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.
  • Anche i numeri razionali vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali , ma questa non è discreta.
  • Consideriamo l'intervallo con la topologia indotta da . Il sottoinsieme è aperto in ma non in .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Intersecando tutti gli aperti di una base di con si ottiene una base per .
  • Se è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad induce la topologia del sottoinsieme.
  • Se è compatto e è chiuso allora è anch'esso compatto.
  • Se è di Hausdorff allora anche lo è.
  • Gli insiemi chiusi di sono le intersezioni di con gli insiemi chiusi di .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E. Sernesi, p. 42.
  2. ^ C. Kosniowski,  p. 23.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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