Teorema delle funzioni implicite

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Il caso più semplice del teorema è detto dalla scuola pisana teorema del Dini.

Il teorema del Dini

Il teorema del Dini stabilisce che una funzione reale di classe $C^1$ di due variabili del tipo:

$F(x,y)=0\,$

definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:

$y=y(x)\,$

in un intorno di un punto $(a,b)$ tale che:

$f(a,b)=0 \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=0$

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione $y=f(x)$ tale che

$F(x,f(x))=0\,$

sia soddisfatta al variare di $x$, ovvero un'unica funzione $x=g(y)$ tale che

$F(g(y),y)=0\,$

sia soddisfatta al variare di $y$.

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ovvero che sia possibile trovare $y=f(x)$ o $x=g(y)$ in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita $F(x,y)=0$ e quella esplicita $y=f(x)$ o $x=g(y)$. Ad esempio, l'equazione:

$F(x,y)=y+x^2e^y = 0\,$

ben definisce un'unica funzione continua $y=f(x)$ definita per ogni $x$ reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

Enunciato

Sia $F:G \subset \R^2 \to \R$ una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue. Sia inoltre $(x_0,y_0) \in G$ tale che:

$F(x_0,y_0) = 0 \qquad F_y (x_0,y_0) \ne 0 \$

dove $F_y (x_0,y_0)$ è la derivata rispetto a $y$ in $(x_0,y_0)$.

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

$g : [x_0 - h,x_0 + h] \to [y_0 - k,y_0 + k] \qquad h,k > 0 \quad h,k \in \R$

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di $g$ è l'insieme delle coppie:

$\{ (x,y) \in G : F(x,y)=0 \}$

che sono contenute nel rettangolo:

$[x_0 - h,x_0 + h] \times [y_0 - k,y_0 + k]$

Il teorema in due dimensioni

Si consideri una funzione di classe C¹ $F: A \to \R$ definita su un insieme aperto $A \subseteq \R^2$, e si consideri l'insieme:

$Z=\{(x,y)\in A: F(x,y)=0\}$.

Se $Z$ è non vuoto esiste un punto $(x_0,y_0)$ tale che:

$F(x_0,y_0)=0 \$

Il teorema afferma che se $(x_0,y_0)$ non è un punto critico, ovvero:

$\nabla F (x_0,y_0) \neq 0 \$

allora esiste un intorno $U$ di $(x_0,y_0)$ tale che l'insieme $Z \cap U$ è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo $y=y(x)$ o del tipo $x=x(y)$ che mette in relazione le due incognite $x$ e $y$. Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra, ma solo che l'equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia $g : A\subset\R^2\rightarrow \;\mathbb{R}$ una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ nell'aperto $A\,\!$ e sia $(x_0,y_0)\in A$ tale che:

$g(x_0,y_0)=0 \qquad g_y(x_0,y_0)\ne 0$

Allora esistono un intervallo reale aperto $I\,\!$, con $x_0\in I$, un intervallo reale aperto $J\,\!$, con $y_0\in J$, ed una funzione $y(x)\,\!$ di classe $\mathcal{C}^1$ in $I\,\!$ a valori in $J\,\!$ tali che:

$y(x_0)=y_0 \qquad y'(x_0)=-\left( \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)} \right)$

e tali che per ogni $x \in I, y \in J$ la relazione:

$g(x,y)=0 \$

si verifica se e solo se:

$y=y(x) \$

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione $x=x(y)$.

Dimostrazione

Sia data una funzione continua $g:A\subset \R^2\to \R$ di classe $\mathcal{C}^1$ in $A\,\!$ tale che $\nabla g (x,y)\neq0$ in tutti i punti tali che $g(x,y)=0\,\!$, cioè nella curva di livello:

$V=\{(x,y)\in A : g(x,y)=0\}$.

Sia $(x_0,y_0)$ un punto di $V\,\!$ e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

$g(x,y)=g(x_0,y_0)+g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$

Tenendo conto che $g(x_0,y_0)=0\,\!$, uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

$g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0\,\!\,\!$

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre $g_y(x_0,y_0)\neq0$. Si può quindi ricavare $y\,\!$ in funzione di $x\,\!$:

$y=y_0 - \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}(x-x_0)$

Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

$y=y_0 - \frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}(x-x_0) + o(x-x_0)$

Il teorema in più dimensioni

Sia $\mathbf f : E \subset \R^{n+m}\rightarrow \R^n$ una funzione di classe $\mathcal{C}^1$, dove $\R^{n+m}$ è il prodotto cartesiano $\R^n \times \R^m$ i cui elementi sono del tipo $(\mathbf{x},\mathbf{y}) = (x_1, x_2, \ldots, x_n , y_1, y_2, \ldots, y_n)$. Sia inoltre $(\mathbf{a},\mathbf{b}) = (a_1, a_2, \ldots, a_n , b_1, b_2, \ldots, b_n) \in E$ un punto tale che $\mathbf f(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0$.

Data la matrice jacobiana di $\mathbf f$ in $(\mathbf{a},\mathbf{b})$:

$\begin{matrix} (D \mathbf f)(\mathbf{a},\mathbf{b}) & = & \left[\begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right] = \begin{bmatrix} X & | & Y \end{bmatrix}\\ \end{matrix}$

si supponga che $X$ è invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che si possono definire due insiemi aperti $U \subset \R^{n+m}$ e $V \subset \R^m$ tali che $(\mathbf{a},\mathbf{b}) \in U$ e $\mathbf{b} \in V$, e tali che:

• Per ogni $\mathbf{y} \in V$ esiste un unico $\mathbf{x}$ tale per cui $(\mathbf{x},\mathbf{y}) \in U$ e $f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 0$.

• La funzione $\mathbf g$ tale che $\mathbf g(\mathbf{y}) = \mathbf{x}$ è una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ ed è definita su $V$ a valori in $\R^n$. Inoltre, $\mathbf g(\mathbf{b}) = \mathbf{a}$

• Si verificano le seguenti relazioni:

$\mathbf f(\mathbf g(\mathbf{y}),\mathbf{y}) = \mathbf{0} \qquad (D \mathbf g)(\mathbf b) = -X^{-1}Y \qquad \mathbf{y} \in V$

dove $(D \mathbf g)(\mathbf b)$ è la jacobiana di $\mathbf g$ in $\mathbf{b}$.

Il teorema stabilisce quindi che il sistema lineare:

$\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf 0 \qquad \left\{ \begin{matrix} f_1(x_1 , x_2 , \cdots , x_n , y_1 , y_2 , \cdots , y_m ) = 0 \\ f_2(x_1 , x_2 , \cdots , x_n , y_1 , y_2 , \cdots , y_m ) = 0 \\ \vdots\\ f_n(x_1 , x_2 , \cdots , x_n , y_1 , y_2 , \cdots , y_m ) = 0 \\ \end{matrix} \right.$

può essere risolto esplicitando $(x_1 , x_2 , \cdots , x_n )$ in funzione di $(y_1 , y_2 , \cdots , y_m )$ in un intorno di $\mathbf{b}$ se il sistema è risolvibile in $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ e se $X$ è invertibile. Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe $\mathcal{C}^1$.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471
• V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235.

Voci correlate

• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Teorema della funzione inversa

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