Teorema delle contrazioni

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Il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli o teorema delle contrazioni è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Contrazione (spazio metrico) e Funzione contrattiva.

Sia (X,d) uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione  f : X \rightarrow X tale che esiste una costante reale 0 < k < 1 che soddisfa la seguente condizione:

d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) \quad \forall x,y \in X

Il più piccolo valore di k per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di f.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia (X, d) uno spazio metrico completo non vuoto. Sia  T : X \rightarrow X una contrazione su  X . Allora la mappa  T ammette uno e un solo punto fisso:[1]

 x^* \, =  T(x^*) \quad x^* \in X .

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

 x_1 = T(x_0) \, , \quad x_2 = T(x_1) \, , \quad ... \, , \quad x_n = T(x_{n - 1}) \, .

Sfruttiamo la metrica  d e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi  x _{n}, x_{n+1} :

 d(x _{n}, x_{n+1}) = d(T(x _{n - 1}), T(x_n)) \leq k \; d(x _{n - 1}, x_n) = k \; d(T(x _{n - 2}), T(x_{n - 1})) \leq
 \leq k^2 \; d(x _{n - 2}, x_{n - 1}) \leq ... \leq k^n \; d(x _0, x_1) \, .

Prendiamo due numeri  m \, , n \in \mathbb{N} tali che  m \leq n : attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

 d(x _n, x_m) \leq d(x _n, x_{n - 1}) + d(x _{n - 1}, x_m) \leq \sum_{i = m}^{n - 1} d(x_i,x_{i + 1}) \leq d(x_0,x_1) \; \sum_{i = m}^{n - 1} k^i =
 = d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^{i + m} = k^m \; d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^i \, .

Per  n \rightarrow \infty , l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra 0 e 1, quindi

 d(x _n, x_m) \leq d(x_0,x_1) \; \frac{k^m}{1 - k} \; \rightarrow \; 0 \qquad \mathrm{ per } \qquad m \rightarrow \infty

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio  X , la quale garantisce l'esistenza di

 x^* = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n

Poiché la  T è un'applicazione uniformemente continua, vale

 T(x^*) = \lim_{n \rightarrow \infty} T(x_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n + 1} = x^* \, .

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto  y* tale che  T(y^*) = y^*

 d(x^*,y^*) \leq d(T(x^*),T(y^*)) \leq k \; d(x^*,y^*) \quad \Rightarrow \quad k \geq 1

che contraddice le ipotesi di partenza.

Il valore minimo di  k è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione  d(T(x),T(y)) < d(x,y) per  x e  y distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa  T : [1, + \infty) \rightarrow [1, + \infty) con  T(x) = x + 1/x , che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio  X è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire  X opportunamente in modo che  T porti elementi da  X a  X , cioè che  T(x) sia sempre un elemento di  X .

Corollario[modifica | modifica sorgente]

Sotto le ipotesi su  X del teorema precedente, se  T : X \rightarrow X è una funzione tale che, per qualche  p numero naturale l'iterata  T^p è una contrazione, allora  T ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che  x sia punto fisso di  T^p . Allora  T^p(x) = x da cui, applicando T da entrambi i lati, si ha  T(T^p(x)) = T(x) e quindi  T^p(T(x)) = T(x) : anche  T(x) è punto fisso per  T^p . Ma, per il teorema precedente,  T^p ha un unico punto fisso e quindi deve essere  T(x) = x .

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

Inversi[modifica | modifica sorgente]

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia f:X\rightarrow X una mappa di un insieme tale che ogni iterata f n ha un unico punto fisso. Sia q un numero reale, 0 < q < 1. Allora esiste una metrica completa su X tale che f sia una contrazione, e q è la costante di contrazione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 222

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 8838606471.
  • (EN) Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
  • (EN) Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
  • (EN) William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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