Teorema delle contrazioni

Il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli o teorema delle contrazioni è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su se stessi, e fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Il teorema

Per approfondire, vedi Contrazione (spazio metrico) e Funzione contrattiva.

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione $f : X \rightarrow X$ tale che esiste una costante reale $0 < k < 1$ che soddisfa la seguente condizione:

$d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) \quad \forall x,y \in X$

Il più piccolo valore di $k$ per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di $f$.

Enunciato

Sia $(X, d)$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $T : X \rightarrow X$ una contrazione su $X$. Allora la mappa $T$ ammette uno e un solo punto fisso:

$x^* \, = T(x^*) \quad x^* \in X$.

Dimostrazione

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

$x_1 = T(x_0) \, , \quad x_2 = T(x_1) \, , \quad ... \, , \quad x_n = T(x_{n - 1}) \, .$

Sfruttiamo la metrica $d$ e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi $x _{n}, x_{n+1}$:

$d(x _{n}, x_{n+1}) = d(T(x _{n - 1}), T(x_n)) \leq k \; d(x _{n - 1}, x_n) = k \; d(T(x _{n - 2}), T(x_{n - 1})) \leq$

$\leq k^2 \; d(x _{n - 2}, x_{n - 1}) \leq ... \leq k^n \; d(x _0, x_1) \, .$

Prendiamo due numeri $m \, , n \in \mathbb{N}$ tali che $m \leq n$: attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

$d(x _n, x_m) \leq d(x _n, x_{n - 1}) + d(x _{n - 1}, x_m) \leq \sum_{i = m}^{n - 1} d(x_i,x_{i + 1}) \leq d(x_0,x_1) \; \sum_{i = m}^{n - 1} k^i =$

$= d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^{i + m} = k^m \; d(x_0,x_1) \; \sum_{i = 0}^{n - m - 1} k^i \, .$

Per $n \rightarrow \infty$, l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra 0 e 1, quindi

$d(x _n, x_m) \leq d(x_0,x_1) \; \frac{k^m}{1 - k} \; \rightarrow \; 0 \qquad \mathrm{ per } \qquad m \rightarrow \infty$

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio $X$, la quale garantisce l'esistenza di

$x^* = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n$

Poiché la $T$ è un'applicazione uniformemente continua, vale

$T(x^*) = \lim_{n \rightarrow \infty} T(x_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n + 1} = x^* \, .$

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto $y*$ tale che $T(y^*) = y^*$

$d(x^*,y^*) \leq d(T(x^*),T(y^*)) \leq k \; d(x^*,y^*) \quad \Rightarrow \quad k \geq 1$

che contraddice le ipotesi di partenza.

Il valore minimo di $k$ è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione $d(T(x),T(y)) < d(x,y)$ per $x$ e $y$ distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa $T : [1, + \infty) \rightarrow [1, + \infty)$ con $T(x) = x + 1/x$, che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio $X$ è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire $X$ opportunamente in modo che $T$ porti elementi da $X$ a $X$, cioè che $T(x)$ sia sempre un elemento di $X$.

Corollario

Sotto le ipotesi su $X$ del teorema precedente, se $T : X \rightarrow X$ è una funzione tale che, per qualche $p$ numero naturale l'iterata $T^p$ è una contrazione, allora $T$ ammette un unico punto fisso.

Applicazioni

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

Inversi

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia $f:X\rightarrow X$ una mappa di un insieme tale che ogni iterata f ⁿ ha un unico punto fisso. Sia q un numero reale, 0 < q < 1. Allora esiste una metrica completa su X tale che f sia una contrazione, e q è la costante di contrazione.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471
• (EN) Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
• (EN) Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• (EN) William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Collegamenti esterni

• (EN) Articolo su PlanethMath

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