Topologia quoziente: differenze tra le versioni
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Definiamo una topologia sull'[[insieme quoziente]] |
Definiamo una topologia sull'[[insieme quoziente]] <math>X/{\sim}</math> (che consiste di tutte le [[classe di equivalenza|classi di equivalenza]] di <math>\sim</math>) nel modo seguente: |
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un insieme di classi di equivalenze in |
un insieme di classi di equivalenze in <math>X/{\sim}</math> è [[insieme aperto|aperto]] se e solo se la loro unione è aperta in <math>X</math>. |
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Sia <math>q : X \to X/{\sim}</math> la proiezione che manda ogni elemento di <math>X</math> nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme <math>X/{\sim}</math>: |
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[[File:QuotientSpace-01.svg|right|Proprietà universale della topologia quoziente]] |
[[File:QuotientSpace-01.svg|right|Proprietà universale della topologia quoziente]] |
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* Un insieme in |
* Un insieme in <math>X/{\sim}</math> è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite <math>q</math> in <math>X</math>. |
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* La topologia su |
* La topologia su <math>X/{\sim}</math> è la topologia più [[Relazione di finezza|fine]] fra tutte quelle che rendono la mappa <math>q</math> continua. |
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* La topologia su |
* La topologia su <math>X/{\sim}</math> è l'unica che soddisfi la seguente ''proprietà universale'': se <math>g : X \to Z</math> è una [[funzione continua]] tale che <math>a \sim b</math> implica <math>g(a) = g(b)</math> per ogni <math>a</math> e <math>b</math> in <math>X</math>, allora esiste una unica funzione continua <math>f : X/{\sim} \to Z</math> tale che <math>g = f \circ q</math>. |
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Nell'ultima definizione, diciamo che |
Nell'ultima definizione, diciamo che <math>g</math> ''scende al quoziente''. |
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== Esempi == |
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Versione delle 21:38, 7 nov 2012
In topologia, la topologia quoziente è intuitivamente quella ottenuta da uno spazio topologico "attaccando" alcuni punti fra loro. Lo spazio topologico che si ottiene viene anche chiamato spazio quoziente.
Definizione
Sia uno spazio topologico e una relazione di equivalenza su . Definiamo una topologia sull'insieme quoziente (che consiste di tutte le classi di equivalenza di ) nel modo seguente: un insieme di classi di equivalenze in è aperto se e solo se la loro unione è aperta in .
Sia la proiezione che manda ogni elemento di nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme :
- Un insieme in è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite in .
- La topologia su è la topologia più fine fra tutte quelle che rendono la mappa continua.
- La topologia su è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: se è una funzione continua tale che implica per ogni e in , allora esiste una unica funzione continua tale che .
Nell'ultima definizione, diciamo che scende al quoziente.
Esempi
- Incollamento. In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se X è uno spazio topologico e due punti x e y di X vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: a ~ b se e solo se a = b oppure a = x, b = y (oppure a = y, b = x). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno spazio connesso da uno avente due componenti connesse.
- In generale, se A è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si costruisce uno spazio quoziente che "identifica A ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza a ~ b se e solo se a e b sono elementi di A. Tale spazio viene talvolta indicato con X/A
- Consideriamo X = R l'insieme di tutti i numeri reali, e poniamo x ~ y se e solo x−y è un intero. Lo spazio quoziente X/~ è omeomorfo al cerchio S1 tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di x su exp(2πix).
- L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo X = Rn e poniamo x ~ y se e solo se le i-esime coordinate dei vettori x e y differiscono di un intero, per ogni i. Lo spazio quoziente è omeomorfo al toro se n = 2, ed è chiamato toro n-dimensionale per n qualsiasi. Il toro n-dimensionale è omeomorfo al prodotto di n cerchi.
- La bottiglia di Klein può essere ottenuta quozientando il toro tramite una opportuna relazione di equivalenza.
- Il nastro di Möbius può essere ottenuto quozientando l'anello tramite una opportuna relazione di equivalenza.
- Lo spazio proiettivo è ottenuto quozientando uno spazio vettoriale privato dell'origine tramite la relazione seguente: x ~ y se e solo se x e y sono multipli (cioè stanno sulla stessa retta).
Proprietà
- Se X soddisfa qualche assioma di separazione, lo spazio quoziente X/~ può non soddisfarlo. Ad esempio, X/~ è T1 se e solo se ogni classe di equivalenza di ~ è chiusa in X.
Poiché la proiezione sul quoziente è continua, la topologia di quest'ultimo eredita alcune proprietà dello spazio iniziale. Quindi:
Bibliografia
Voci correlate