Teorema della convergenza dominata
In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l'operazione di integrazione.
Il teorema viene generalizzato dal teorema di convergenza di Vitali.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Sia uno spazio di misura e una successione di funzioni misurabili su tale che esiste il limite:
Se esiste una funzione tale che
- ,
nel qual caso si dice dominata da , allora si ha:[1]
ovvero converge a in tutto
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Dal momento che denota il limite quasi ovunque della successione , allora la successione è misurabile e dominata da , e quindi integrabile.
Si vuole mostrare che:
- per qualunque S contenuto in X.
Dal momento che:
e che:
- per ogni x
allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:
Ma dal momento che:
allora:
e il fatto che sia vero per ogni S ci consente di affermare che:
dimostrando la tesi.
Note
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Lemma di Fatou
- Passaggio al limite sotto segno di integrale
- Teorema della convergenza monotona
- Teorema di convergenza di Vitali
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della convergenza dominata, su MathWorld, Wolfram Research.