Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Successioni di numeri

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se a_k è una successione monotona di numeri reali, allora la successione ammette un limite finito se e solo se è limitata.

Serie di numeri

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero a_j,k è reale e non negativo e a_j,k ≤ a_j+1,k, allora:

$\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}.$

Successioni di funzioni

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se (X, Σ, μ) è uno spazio di misura e $\{f_n \}$ una successione di funzioni misurabili su Σ tale che:

$0 \leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \dots \leq \infty \quad \forall x \in X$

$\lim_{n\to\infty}f_n(x) \to f(x) \quad \forall x \in X$

allora f è misurabile in Σ e:

$\lim_{n\to\infty} \int_X f_n d \mu = \int_X f d \mu \$

dove l'integrale è di Lebesgue. Si nota che il valore di ogni integrale può essere infinito.

Dimostrazione

Sia {f_k}_{k ∈ N} una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:

$f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:

$\int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu$

Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:

$\int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu.$

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente g_n di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a f quasi ovunque e tali che:

$\lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu.$

Perciò basta provare che per ogni k ∈ N si ha:

$\int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu.$

Si vuole provare che se g è una funzione semplice e:

$\lim_j f_j(x) \geq g(x)$

quasi ovunque, allora:

$\lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu.$

Spezzando la funzione g nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui g è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che A sia un insieme misurabile e {f_k}_{k ∈ N} sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su E tali che:

$\lim_n f_n (x) \geq 1$

per quasi tutti gli x ∈ A. Allora:

$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A).$

Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:

$B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}.$

Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni n ∈ N si ha:

$\mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu$

Per ipotesi:

$\bigcup_i B_i = A,$

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di μ:

$\mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d \mu.$

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Teorema della convergenza dominata
• Lemma di Fatou

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