Lemma di Fatou

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In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou[modifica | modifica sorgente]

Se f_1,f_2,\dots è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura (S,\Sigma,\mu), allora:

 \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia f il limite inferiore della successione f_n. Per ogni intero k si definisca la funzione:

g_k=\inf_{n\ge k}f_n

cioè:

g_1=\inf{\left \{ f_1, f_2, f_3, \dots  \right \}}
g_2=\inf{\left \{ f_2, f_3, f_4, \dots  \right \}}
\dots
g_n=\inf{\left \{ f_n, f_{n+1}, f_{n+2}, \dots  \right \}}
\dots

Allora la successione g_k è tale che:

0\le g_1\le g_2 \dots \le g_n \dots \qquad g_k\uparrow \liminf_{n\to \infty}f_n \qquad g_k\le f_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}

Se k \le n, allora g_k \le f_n, dunque:

\int_S g_k\,d\mu\le\int_S f_n\,d\mu

quindi:


\int_S g_k\,d\mu
\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:


\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu
\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu
=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta[modifica | modifica sorgente]

Si definisca sullo spazio S una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.


f_n(x)=\begin{cases}n&\mbox{per }x\in (0,1/n)\\
0&\mbox{altrimenti}
\end{cases}

f_n(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac1n&\mbox{per }x\in [0,n]\\ \\
0&\mbox{altrimenti}
\end{cases}

Queste successioni (f_n)_{n\in\N} convergono su S puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni f_n ha integrale uguale a 1.

Inverso del lemma di Fatou[modifica | modifica sorgente]

Sia f_1,f_2,\dots una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a \mathbb{R} esteso definita su uno spazio di misura (S,\Sigma,\mu). Se esiste una funzione non negativa g, misurabile e con \textstyle\int_S g\,d\mu<\infty su S, tale che f_n \le g per ogni n, allora:


\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu
\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da g - f_n.

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou[modifica | modifica sorgente]

Estremo inferiore integrabile[modifica | modifica sorgente]

Sia f_1,f_2,\dots una successione di funzioni misurabili a valori in \mathbb{R} esteso definita su uno spazio di misura (S,\Sigma,\mu). Se esiste una funzione non negativa e integrabile g su S tale che f_n \ge -g per ogni n, allora:


\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
 \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da g + f_n.

Convergenza puntuale[modifica | modifica sorgente]

Se la successione f_1,f_2,\dots appena presentata converge puntualmente ad una funzione f quasi ovunque su S, allora:

\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

Infatti, si osservi che f ha lo stesso limite inferiore delle f_n quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura[modifica | modifica sorgente]

L'ultima affermazione vale anche se la successione f_1,f_2,\dots converge in misura ad una funzione f. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a f, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a f quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Valore atteso condizionato.

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali X_1,X_2,\dots definite su uno spazio di probabilità (\Omega,\,\mathcal F,\,\mathbb P), con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia X_1,X_2,\dots una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità (\Omega,\mathcal F,\mathbb P) e sia \mathcal G\,\subset\,\mathcal F una sotto-σ-algebra. Allora:

\mathbb{E}\Big[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Big]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia X il limite inferiore di X_n. Per ogni intero k si definisca la variabile:

Y_k=\inf_{n\ge k}X_n

Allora la successione Y_1,Y_2,\dots è crescente e converge puntualmente a X. Per k \le n, si ha Y_k \le Y_n, e quindi:

\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di X, la sua rappresentazione come limite puntuale di Y_k, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:


\begin{matrix}\mathbb{E}\Big[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Big]
&=\mathbb{E}[X|\mathcal G]
=\mathbb{E}\Big[\lim_{k\to\infty}Y_k\,\Big|\,\mathcal G\Big]
=\lim_{k\to\infty}\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\\
&\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]
=\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]
\end{matrix}

quasi certamente.

Estensione a parti negative uniformemente integrabili[modifica | modifica sorgente]

Sia X_1,X_2,\dots una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità (\Omega,\mathcal F,\mathbb P) e sia \mathcal G\,\subset\,\mathcal F una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

X_n^-:=\max\{-X_n,0\} \qquad n\in{\mathbb N}

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per \varepsilon > 0 esiste c > 0 tale che:

\mathbb{E}\bigl[X_n^-1_{\{X_n^->c\}}\,|\,\mathcal G\bigr]<\varepsilon 
\qquad \forall n\in\mathbb{N}

quasi certamente, allora:

\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

X:=\liminf_{n\to\infty}X_n

soddisfa:

\mathbb{E}[\max\{X,0\}\,|\,\mathcal G]=\infty

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sia \varepsilon > 0. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste c > 0 tale che:

\mathbb{E}\bigl[X_n^-1_{\{X_n^->c\}}\,|\,\mathcal G\bigr]<\varepsilon
\qquad \forall n\in\mathbb{N}

quasi certamente. Dato che:

X+c\le\liminf_{n\to\infty}(X_n+c)^+

dove x^+ :=\max \{x,0 \} denota la parte positiva di x \in \R, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:

\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal G]+c
\le\mathbb{E}\Bigl[\liminf_{n\to\infty}(X_n+c)^+\,\Big|\,\mathcal G\Bigr]
\le\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[(X_n+c)^+\,|\,\mathcal G]

quasi certamente. Dal momento che:

(X_n+c)^+=(X_n+c)+(X_n+c)^-\le X_n+c+X_n^-1_{\{X_n^->c\}}

si ha:

\mathbb{E}[(X_n+c)^+\,|\,\mathcal G]
\le\mathbb{E}[X_n\,|\,\mathcal G]+c+\varepsilon

quasi certamente, e quindi:

\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal G]\le
\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_n\,|\,\mathcal G]+\varepsilon

quasi certamente. Questo prova l'asserto.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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