Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale (di Lebesgue) del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou

Se f₁, f₂, . . . è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura (S,Σ,μ), allora

$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

Dimostrazione

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia f il limite inferiore della successione f_n. Per ogni intero k si definisca la funzione

$g_k=\inf_{n\ge k}f_n,$

cioè

$g_1=\inf{\left \{ f_1, f_2, f_3, ... \right \}},$

$g_2=\inf{\left \{ f_2, f_3, f_4, ... \right \}},$

$...$

$g_n=\inf{\left \{ f_n, f_{n+1}, f_{n+2}, ... \right \}},$

$...$

Allora la successione g_k è tale che

$0\le g_1\le g_2 ...\le g_n ...$,

$g_k\uparrow \liminf_{n\to \infty}f_n$,

$g_k\le f_k,$ $\forall k \in \mathbb{N}.$

Se k ≤ n, allora g_k ≤ f_n, dunque

$\int_S g_k\,d\mu\le\int_S f_n\,d\mu,$

quindi

$\int_S g_k\,d\mu \le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.$

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che

$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu =\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu \le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu =\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta

Definiamo sullo spazio $S$ una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

• Esempio 1 (Spazio di probabilità): Consideriamo l'intervallo unitario $S:=[0,1]$, e per ogni intero positivo $n$ definiamo

$f_n(x)=\begin{cases}n&\mbox{per }x\in (0,1/n),\\ 0&\mbox{altrimenti.} \end{cases}$

• Esempio 2 (Convergenza uniforme): Sia $S:={\mathbb{R}}$ l'insieme dei numeri reali e si definisca

$f_n(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac1n&\mbox{per }x\in [0,n],\\ \\ 0&\mbox{altrimenti.} \end{cases}$

Queste successioni $(f_n)_{n\in\N}$ convergono su $S$ puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni $f_n$ ha integrale uguale a $1$.

Inverso del lemma di Fatou

Sia f₁, f₂, . . . una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a $\mathbb{R}$ esteso definita su uno spazio di misura (S,Σ,μ). Se esiste una funzione integrabile non negativa g su S tale che f_n ≤ g per ogni n, allora

$\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu \ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu.$

Osservazione: in questo caso g integrabile significa che g è misurabile e che $\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty$.

Dimostrazione

Si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da g – f_n.

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou

Estremo inferiore integrabile

Sia f₁, f₂, . . . una successione di funzioni misurabili a valori in $\mathbb{R}$ esteso definita su uno spazio di misura (S,Σ,μ). Se esiste una funzione non negativa e integrabile g su S tale che f_n ≥ −g per ogni n, allora

$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

Dimostrazione

Si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da f_n + g.

Convergenza puntuale

Se la successione f₁, f₂, . . . appena presentata converge puntualmente ad una funzione f quasi ovunque su S, allora

$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

Dimostrazione

Si osservi che f ha lo stesso limite inferiore delle f_n quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura

L'ultima affermazione vale anche se la successione f₁, f₂, . . . converge in misura ad una funzione f.

Dimostrazione

Esiste una sottosuccessione tale che

$\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a f, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a f quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità, cambiando notazione, le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali X₁, X₂, . . . definite su uno spazio di probabilità $\scriptstyle(\Omega,\,\mathcal F,\,\mathbb P)$; gli integrali diventano i valori attesi. In più, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati:

Sia X₁, X₂, . . . una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità $\scriptstyle(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ e sia $\scriptstyle \mathcal G\,\subset\,\mathcal F$ una sotto-σ-algebra. Allora

$\mathbb{E}\Big[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Big]\le\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]$   quasi certamente.

Osservazione: il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito, non occorre finite expectation.

Dimostrazione

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia X il limite inferiore diX_n. Per ogni intero k si definisca la variabile

$Y_k=\inf_{n\ge k}X_n.$

Allora la successione Y₁, Y₂, . . . è crescente e converge puntualmente a X. Per k ≤ n, si ha Y_k ≤ X_n, e quindi

$\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]$   quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque

$\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\le\inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G]$   quasi certamente,

poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto. Usando la definizione di X, la sua rappresentazione come limite puntuale di Y_k, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che

$\begin{matrix}\mathbb{E}\Big[\liminf_{n\to\infty}X_n\,\Big|\,\mathcal G\Big] &=\mathbb{E}[X|\mathcal G] =\mathbb{E}\Big[\lim_{k\to\infty}Y_k\,\Big|\,\mathcal G\Big] =\lim_{k\to\infty}\mathbb{E}[Y_k|\mathcal G]\\ &\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\mathbb{E}[X_n|\mathcal G] =\liminf_{n\to\infty}\,\mathbb{E}[X_n|\mathcal G] \end{matrix}$

quasi certamente.

Bibliografia

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
• W. Rudin, Real and complex analysis, New York McGraw-Hill Book Company, 1974.

Voci correlate

• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Pierre Fatou

Collegamenti esterni

• (EN) «Fatou's lemma» su PlanetMath.

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