Formula di Eulero-Maclaurin

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Nel calcolo infinitesimale la formula di Eulero-Maclaurin fornisce un collegamento di grande utilità tra il calcolo degli integrali (vedi calcolo infinitesimale) e il calcolo di somme e serie. Essa si può usare per approssimare integrali mediante somme finite e viceversa per valutare somme finite e somme di serie a partire da valori di integrali definiti ottenuti analiticamente o mediante approssimazioni ottenute usando il computer. In particolare da questa formula si deducono molti sviluppi asintotici e la formula di Falhauber per la somma di potenze di interi è una sua immediata conseguenza.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Euler l'ha trovata mentre cercava di calcolare serie infinite lentamente convergenti, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali specifici. Questa formula è stata generalizzata nel 1886 da Gaston Darboux (v. Formula di Darboux).

La formula[modifica | modifica wikitesto]

Se n è un intero positivo e f(x) è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali x tra 0 e n, allora l'integrale

I=\int_0^n f(x)\,dx

può essere approssimato con la somma

S = f(0)/2+f(1)+\cdots+f(n-1)+f(n)/2

(vedi regola del trapezio). La formula di Euler - Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato f(k) nei punti finali dell'intervallo 0 e n. Per ogni numero naturale p, abbiamo

S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R

dove B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 = 1/42, B8 = -1/30... sono i numeri di Bernoulli.

R è un termine di errore che è normalmente piccolo se p è abbastanza grande e può essere stimato come

\left|R\right| \leq \frac{2}{(2\pi)^{2p}} \int_0^n dx \, \left|f^{(2p+1)}(x)\right|.

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche a funzioni che sono definite su qualche intervallo della retta reale diverso da [0,n].

Se f è un polinomio e p è un intero abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se f(x) = x3, può essere scelto p = 2 per ottenere dopo la semplificazione

\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

Con la funzione f(x) = log(x), la formula di Euler - Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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