In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo
è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con
e l'insieme delle relazioni con
, la presentazione di un gruppo si indica con
![{\displaystyle G\ =\ \langle S\mid R\rangle \ =\ \langle S;R\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d762598929fb2440e8c554ca369ffe0c32358a85)
La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.
Consideriamo un insieme detto alfabeto
dove per ogni
definiamo un ulteriore elemento
[postille 1][1], cioè:
![{\displaystyle S^{'}=\{x_{1},x_{1}^{-1},\ldots ,x_{r},x_{r}^{-1}\}=\{x_{i},x_{i}^{-1},\;i=1,\ldots ,r\}\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178ff543b84a470672a6a659170819bc215b2572)
allora definiamo una parola di lunghezza n un qualunque prodotto (cioè la legge di composizione del gruppo G) formale finito
,
e denotiamo la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore, in notazione
. Essendovi elementi che si possono ripetere n-volte, utilizziamo le seguenti scritture abbreviate:
Tali sequenze di elementi del gruppo G possono essere semplificate. Infatti una generica sequenza del tipo:
![{\displaystyle w\ =\ \ldots x_{i}x_{i}^{-1}\ldots x_{i}^{-1}x_{i}\ldots \;i=1,\ldots ,r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73222fca14efb591d00e51c40d022432ae64cc70)
ha due occorrenze che si possono cancellare riducendo la lunghezza della parola senza influenzare il suo significato. La cancellazione si può effettuare in percorsi diversi ma il risultato è sempre la stessa parola
per una descritta parola iniziale
. Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi
e
contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Ad esempio:
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}&w_{2}&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}\\&=x_{1}x_{3}^{-1}x_{3}x_{2}&&=x_{1}x_{2}x_{2}^{-1}x_{2}\\&=x_{1}x_{2}={\overline {w}}&&=x_{1}x_{2}={\overline {w}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1306e7b1332042edfdde0a2948b8f0bdc8594a97)
quindi
sono due parole equivalenti perchè semplificando danno la stessa
. Una parola ridotta verifica la seguente condizione:
![{\displaystyle i_{\nu }\neq i_{\nu +1}\quad \nu =1,\ldots ,(2r-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2ea61f2b8589eed89aff0b8c1842b1df3315c9)
oppure se
![{\displaystyle \epsilon _{\nu }+\epsilon _{\nu +1}\neq 0\quad \nu =1,\ldots ,(2r-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24330b4134ce04d3de073e4ad0cc4c9222afb4c6)
dove la parola ridotta ha lunghezza al più
, basta considerare le sequenze ridotte limite:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {w}}&=x_{1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}&\ldots &&x_{r-1}x_{r}x_{r-1}^{-1}x_{r}^{-1}\\{\overline {w}}&=x_{1}^{r}x_{2}^{r}x_{1}^{-r}x_{2}^{-r}&\ldots &&x_{r-1}^{r}x_{r}^{r}x_{r-1}^{-r}x_{r}^{-r}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ed28b481f2c190a7eb037fe431c113fe55f131)
L'insieme delle parole ridotte formate dall'alfabeto
si può dotare della struttura algebrica di gruppo
[postille 2][2].
- Definiamo come prodotto o legge di composizione interna tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale.
![{\displaystyle {\overline {w_{1}}}\circ {\overline {w_{2}}}\ =\ {\overline {w_{1}\cdot w_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23719f0ab0bdb8c13dc2cd6ef4157f9b065a647)
![{\displaystyle {\overline {{\overline {w_{1}\cdot w_{2}}}\cdot w_{3}}}={\overline {w_{1}\cdot {\overline {w_{2}\cdot w_{3}}}}}\quad \forall w_{1},w_{2},w_{3}\in F(S^{'})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13e7857b11129b223931e7ccc3bfa0dedb18eae)
![{\displaystyle e_{F}\ =\ x_{i}^{0}\;i=1,\ldots ,r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2a108bc6aae460161b1d0c99280468fdb9a73a)
- l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore
con il fattore
e viceversa.
![{\displaystyle {\overline {w}}^{-1}\ =\ \left(x_{i_{1}}^{\epsilon _{1}}\ldots x_{i_{2r}}^{\epsilon _{2r}}\right)^{-1}\ =\ x_{i_{2r}}^{-\epsilon _{2r}}\ldots x_{i_{1}}^{-\epsilon _{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a83995107f816986a9aec3a0d328179a96dff47)
- con la proprietà
![{\displaystyle {\overline {w}}^{-1}\circ {\overline {w}}\ =\ {\overline {w}}\circ {\overline {w}}^{-1}={\overline {w^{-1}\cdot w}}\ =\ {\overline {w\cdot w^{-1}}}\ =\ e_{F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37ac1c9b6ed33205f9fdb6dc4b94674a7962bc4)
L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme
e indicato con
.
Consideriamo un insieme
, il gruppo libero
e un sottoinsieme
formato da parole di
. Il gruppo di presentazione
è definito come il più grande gruppo quoziente di
tale che ogni elemento di
è identificato con l'identità.
Detto
il più piccolo sottogruppo normale contenente
(chiusura normale di
), si dimostra che:
![{\displaystyle \langle S\mid R\rangle ={\frac {\langle S\rangle }{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee6d2a0cede05dd5a1cff2bbd61fbb1eba50b7c)
Gli elementi di
sono detti generatori di
, gli elementi di
sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di
, che nella loro forma più semplice possono essere espressi come
, dove
e
è l'identità di
.
Una presentazione
è detta finitamente generata se l'insieme
dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme
delle relazioni, finita se sono finiti sia
che
. In simboli:
![{\displaystyle S\ =\ \left\{x_{1},x_{2}\ldots ,x_{r}\right\}\subseteq G\qquad R\ =\ \left\{w_{1}=w_{2}=\ldots w_{s}=e_{G}\right\}\ =\ \left\{w_{1},w_{2},\ldots ,w_{s}\right\}\subseteq F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b0ca8b139736ba54d1289afe7d104f6a0ec58a)
Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere
e
come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo
, dove
è una entrata della tavola di composizione.
Se
è indicizzato da un insieme
, esiste una funzione biiettiva
e un algoritmo che, dato
permette di trovare
e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme
, diciamo che
è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è
.
Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).
Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.
Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:
- ogni gruppo ha una presentazione;
- ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
- in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
- dati due gruppi
e
di presentazioni
e
, con
e
disgiunti, il prodotto libero
ha presentazione
;
- dati due gruppi
e
di presentazioni
e
, con
e
disgiunti, il prodotto diretto
ha presentazione
;
Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.
Gruppo |
Presentazione |
Note
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Gruppo libero su
|
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Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
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Gruppo libero abeliano su
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, dove è l'insieme di tutti i commutatori di .
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Gruppo simmetrico
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, dove la seconda relazione vale per .
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La terza relazione si può sostituire con , utilizzando la prima relazione. è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto è un 3-ciclo sull'insieme .
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Gruppo di trecce
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, dove la prima relazione vale per .
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L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione .
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, gruppo ciclico di ordine n
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, gruppo diedrale di ordine n
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rappresenta una rotazione, una riflessione.
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, gruppo diedrale infinito
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, gruppo diciclico
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Gruppo dei quaternioni
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Equivale al gruppo diciclico .
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Il gruppo tetraedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
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Il gruppo ottaedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
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Il gruppo icosaedrale
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È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
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- ^ (EN) P. M. Cohn, IX. Further group theory § 9.9, in Algebra I, 2ª ed., John Wiley & Sons Inc, 1982, ISBN 978-0471101697.
- ^ (EN) M. A. Armstrong, XXVII. Free groups and presentations, in Groups and Symmetry, 1ª ed., NY, Springer, 1988, pp. 166-172, ISBN 978-0-387-96675-5.
- Postille
- ^ È sempre possibile definire due elementi
e
, che si identificano rispettivamente con
e ![{\displaystyle x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf91609f1a0b7847e108023b015cb6b0d567821)
Il simbolo
indica l'insieme dei generatori del gruppo G
- ^ Da notare i simboli diversi per la composizione o il prodotto nei due gruppi seguenti:
il gruppo libero
e quello principale
- (EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
- (EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9