Prodotto libero

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Questo spazio topologico, detto bouquet ha come gruppo fondamentale il prodotto libero di due copie di . Questo gruppo viene indicato con il simbolo . I suoi elementi possono essere rappresentati come parole nelle lettere e (e anche e )

In algebra, il prodotto libero di due gruppi e è un nuovo gruppo, generalmente indicato con

Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in e in , considerate a meno di semplici operazioni.

La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due gruppi. Una parola in e è una successione finita di elementi

dove ciascun è un elemento di o di .

Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:

  1. rimozione della lettera , elemento neutro di o di ;
  2. sostituzione di una coppia di lettere consecutive appartenenti allo stesso gruppo o con l'elemento ""
  3. l'inversa di una delle due mosse precedenti.

La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.

Il prodotto libero è l'insieme di tutte le parole in e , considerate a meno di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

Il concatenamento di due parole

è la parola

Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di oppure . L'elemento inverso di una parola

è la parola

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Presentazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se i due gruppi e sono descritti tramite presentazioni come

dove e sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora

[1]

In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.

Associatività e commutatività[modifica | modifica wikitesto]

I prodotti liberi

sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi

sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra gruppi

L'operazione ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi

sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per : dato un gruppo , non è possibile trovare un gruppo per cui è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di .

Rappresentante ridotto[modifica | modifica wikitesto]

Ogni elemento di un prodotto libero si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola

in cui valgono le proprietà seguenti:

  1. due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
  2. nessun è elemento neutro di o di .

Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:

  1. se due lettere consecutive appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera definita come l'elemento ;
  2. se un è un elemento neutro, rimuoverlo.

La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.

L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.

Cardinalità[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento in e in entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:

Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo libero[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: gruppo libero.
Il gruppo fondamentale di questa rosa con 4 petali è il gruppo libero di ordine 4.

Il gruppo libero di ordine è il gruppo

ottenuto come prodotto libero di copie del gruppo degli interi .

Prodotto di gruppi ciclici[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo

può essere descritto come segue. Ciascun gruppo ha un solo elemento non banale: siano e gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:

Il sottogruppo generato da

ha indice 2 ed è isomorfo a .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: teorema di Van Kampen.

L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata ad una operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati e , identificando un punto di con uno di . Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo

Se gli spazi topologici e sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di e :

Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di circonferenze è il gruppo libero di ordine .

Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è

prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) A.L. Shmel'kin, Free product of groups, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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