Limite notevole

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1leftarrow.pngVoce principale: Limite di una funzione.

Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

Razionale[modifica | modifica sorgente]

  • \lim_{x\to \pm\infty}\frac{a_0x^k + a_1x^{k-1} + ... + a_k}{b_0x^r + b_1x^{r-1} + ... + b_r}= \left\{\begin{matrix} \sgn[{a_o \over b_0}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty, & \mbox{se }k>r\\ \frac{a_0}{b_0}, & \mbox{se }k=r\\0, & \mbox{se }k<r \end{matrix}\right.

Potenza[modifica | modifica sorgente]

  • \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{x} = a,\;\;a\in\mathbb{R}

Trigonometrici[modifica | modifica sorgente]

  • \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}
  • \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0
  • \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
  • \lim_{x\to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

Esponenziali e logaritmi[modifica | modifica sorgente]

  • \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty\quad \mbox{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty\quad \mbox{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty\quad \mbox{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty\quad \mbox{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to 0} a^x = 1


  • \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty\quad \text{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to +\infty} a^x = 0\quad \text{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\quad \text{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty\quad \text{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}


  • \lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a


  • \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
  • \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a , a > 0


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