Limite notevole

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1leftarrow.pngVoce principale: Limite di una funzione.

Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

Razionale[modifica | modifica wikitesto]

  • \lim_{x\to \pm\infty}\frac{a_0x^k + a_1x^{k-1} + ... + a_k}{b_0x^r + b_1x^{r-1} + ... + b_r}= \left\{\begin{matrix} \sgn[{a_o \over b_0}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty, & \mbox{se }k>r\\ \frac{a_0}{b_0}, & \mbox{se }k=r\\0, & \mbox{se }k<r \end{matrix}\right.

Potenza[modifica | modifica wikitesto]

  • \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{x} = a,\;\;a\in\mathbb{R}

Trigonometrici[modifica | modifica wikitesto]

  • \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
Dimostrazione

Dato che \frac{\sin(x)}{x} è una funzione pari, è sufficiente considerare il caso x>0; inoltre, si può supporre x<\frac \pi2. Per tali valori di x si ha

0 < \sin x \le x \le \tan x

che, considerando i reciproci, implica

\frac { 1 }{\sin{x}} \ge \frac {1}{x} \ge \frac {\cos x}{\sin x}.

Moltiplicando per sin x si ottiene

 1 \ge \frac {\sin x}{x} \ge \cos x.
Quindi, dato che cos x tende all'unità per x che tende a zero, per il teorema del confronto il limite in mezzo dovrà avere lo stesso valore degli altri due.
  • \lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}
Dimostrazione

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{1}{b} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = \frac{a}{b} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}

Facendo un cambio di variabile y=ax si ottiene che

\frac{a}{b} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}= \frac{a}{b} \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}=\frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}

  • \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0
Dimostrazione

\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x}  \frac{1+\cos(x)}{x} \frac{x}{1+\cos(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2(x)}{x^2} \frac{x}{1+\cos(x)}

Sfruttando la relazione fondamentale del seno e coseno \sin^2(x)+cos^2(x)=1 \Rightarrow \ 1-cos^2(x)=sin^2(x) il limite diventa

\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \frac{x}{1+\cos(x)}
= \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \frac{x}{1+\cos(x)}

Il primo termine tende a 1, il secondo termine tende a 0, quindi

\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \frac{x}{1+\cos(x)} = 0

Quindi il limite di partenza tende a 0

  • \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
Dimostrazione

Moltiplicando il denominatore e il numeratore per 1+\cos(x) abbiamo che:

\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{x^2(1+\cos(x))} = \frac{1-\cos^2(x)}{x^2(1+\cos(x))}

Ma poiché \sin^2(x)=1-cos^2(x):

\frac{\sin^2(x)}{x^2(1+\cos(x))} = \frac{\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos(x)} =\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos(x)}

Quindi

\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \frac{1}{1+\cos(x)} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\cos(x)} = \frac{1}{2}
  • \lim_{x\to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1
Dimostrazione

Scriviamo la tangente sfruttando la sua definizione di rapporto tra seno e coseno dell'angolo:

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x \cos(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} \cdot  \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(x)} =  1 \cdot 1 = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1
Dimostrazione

Per dimostrare il limite si utilizza la sostituzione di variabile: si pone :  t=\arcsin(x) (e di conseguenza si ha x=\sin(t) ) ottenendo così:

\lim_{t\to 0} \frac{t}{\sin(t)} = \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

Esponenziali e logaritmi[modifica | modifica wikitesto]

  • \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty\quad \mbox{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty\quad \mbox{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty\quad \mbox{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty\quad \mbox{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to 0} a^x = 1


  • \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty\quad \text{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to +\infty} a^x = 0\quad \text{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\quad \text{se}\quad a>1


  • \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty\quad \text{se}\quad 0<a<1


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{a}{x} \right )}^{bx}\! = e^{ab}


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{x} \right )}^x\! = e


  • \lim_{x\to \pm\infty} {\left (\frac{x}{x+1} \right )}^x\! = \frac{1}{e}


  • \lim_{x\to 0} {\left ( 1 + ax \right ) }^{\frac{1}{x}}\! = e^a


  • \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
Dimostrazione

Ricordando che  \lim_{y\to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}}=e allora, applicando il teorema sul limite di una funzione composta \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0} \log_a (1+x)^\frac{1}{x}=\lim_{y\to e} \log_a y=\log_a e avendo posto y=(1+x)^{\frac{1}{x}} Ricordando la formula per il cambiamento di base dei logaritmi si ha \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} e nel nostro caso, passando alla base naturale

\log_a e=\frac{\ln e}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}
  • \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\! = 1
Dimostrazione

Sfruttando le proprietà dei logaritmi il limite diviene

\lim_{x\to 0} {\left (\ln(1+x)^\frac{1}{x} \right )}

Poniamo ora x = \frac{1}{t} . Per {x\to 0}, {t\to \infty} , pertanto il limite diviene

\lim_{t\to \infty} {\left (\ln \left(1+\frac{1}{t} \right)^t \right)}

Poiché la funzione logaritmo commuta con l'operatore limite abbiamo:

\ln \left (\lim_{t\to \infty} {\left(1 + \frac{1}{t} \right)^t} \right) = \ln e = 1
  • \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a , a > 0
Dimostrazione

Poniamo il numeratore a^x-1 = z.
Di conseguenza risulta a^x = 1+z.
Applichiamo ora il logaritmo in base a ad ambo i membri e otteniamo per il denominatore

x = \log_a(1+z).

Inoltre per {x\to 0}, risulta {z\to 0}.
Pertanto il limite diviene

\lim_{z\to 0} {\left (\frac{z} {\log_a(1+z)} \right)}

Dividendo numeratore e denominatore per z abbiamo

\lim_{z\to 0} {\left (\frac{1} {\frac{\log_a(1+z)} {z}} \right)}

Sfruttando le proprietà dei logaritmi e dei limiti otteniamo

\lim_{z\to 0} { \left (\frac{1}      {\frac{\log_a(1+z)} {z}       } \right)}
=      \lim_{z\to 0} { \left (\frac{1}      {\frac{\ln(1+z)}   {\ln(a)z} } \right)} 
=      \lim_{z\to 0} { \left (\frac{\ln(a)} {\frac{\ln(1+z)}   {z}       } \right)}
= \frac{\ln(a)}{\lim_{z\to 0} { \left (     {\frac{\ln(1+z)}   {z}       } \right)} }
= \ln(a)

essendo pari a 1 il limite notevole a denominatore.


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