La classe laterale o coset è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.
Sia un gruppo e sia un suo sottogruppo e . Nel seguito utilizziamo per la legge di composizione la notazione .[postille 1] La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di in rappresentato da è l'insieme:
cioè fissato un elemento a di G detto rappresentante della classe, si fa il prodotto (indica la legge di composizione di G) dove h è un qualsiasi elemento del sottogruppo H. Oppure si prende l'elemento opposto di a e si fa il prodotto con qualsiasi elemento b di G verificando di ottenere un elemento di H.
Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di in rappresentato da come l'insieme:
vale un modo di operare simile al precedente. Un teorema di Hall del 1935 permette di definire un sistema di elementi rappresentativi comune ai coset sinistri e destri non univoco[1].
in particolare, essendo che si verifica si pone e gli altri si possono scegliere dalla relazione
È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza definita in ponendo per :
La classe di equivalenza contenente l'elemento è proprio : infatti , dove è l'elemento neutro di : quindi perché è un sottogruppo.
Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato G si definisce come:
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dove l'elemento x è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano G si ha sempre
cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.
Osserviamo che, a causa delle due equivalenze , sia i laterali sinistri che i destri del gruppo sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni
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sono biunivoche. E si possono esprimere con l'unica bijezione naturale
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Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.
Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo nel gruppo , e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato
- .
In particolare, se è finito e ha elementi, ed ha elementi, si ha : quindi la cardinalità di ogni sottogruppo di un gruppo finito G e il suo indice sono divisori della cardinalità di G (vedi teorema di Lagrange).
In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo di G che definisce un'unica partizione, cioè tale che , si dice sottogruppo normale di G[postille 2]; in genere tale partizione è formata da classi cioè dal valore dell'indice di H. Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo H diventa allora H = N cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre[2]. Cioè:
e in tale gruppo abbiamo
- che equivale a come legge di composizione interna associativa
- come elemento neutro
- come elemento inverso
a cui viene associata una tabella di Cayley .
- Casi particolari
- Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia . In tal caso si ottiene
- quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui e il teorema di Lagrange diventa . L'altro caso è e si ottiene
- quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui e il teorema di Lagrange diventa .
- Se come elemento x rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di G e l'elemento h di H si ha
- quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con H.
- quindi , inoltre si ha pure ed è vera se e solo se
- in definitiva in modo analogo al primo caso
- da questi due fatti si conclude e come rappresentante della classe comune si prende , cioè l'elemento neutro di .
Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico S3 ha legge di composizione non commutativa
elemento neutro ed opposto
- cioè tutti gli elementi sono punti fissi.
- occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.
Consideriamo i sottogruppi di S3 il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1,2,3,6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:
- due sottogruppi normali banali ed di ordini 1 e 6,
- il sottogruppo normale alternante che è un gruppo ciclico di ordine 3
- tre sottogruppi delle riflessioni , e che sono gruppi ciclici di ordine 2.
quindi sono sei sottogruppi di cui tre sono normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali.
Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:
quindi 6 classi laterali destro e sinistro coincidenti e l'indice diventa
quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa
- . Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento , in questo caso e quindi e poi lo componiamo con qualsiasi elemento . Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli . Stessa procedura per trovare gli .
Classe laterale sinistra
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Classe laterale destra
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abbiamo ottenuto per il coset sinistro e per quello destro.
Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati
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e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di H in S3 ha valore
Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:
Classi laterali dei sottogruppi di S3
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1 |
[postille 3] |
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6
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2 |
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3
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2 |
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3
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2 |
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3
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3 |
[postille 3] |
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2
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6 |
[postille 3] |
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1
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Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia il gruppo additivo degli interi
cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo
- come elemento neutro
- come elemento opposto rispetto alla legge composizione.
- cioè un gruppo abeliano.
Consideriamo come sottogruppo
Allora le classi laterali destre o cosets di H in G sono i tre insiemi
dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra
- .
con x il rappresentante della classe.
Questi tre insiemi suddividono (o creano una partizione) l'insieme Z, quindi non ci sono altri coset destro di H. Essendo la legge di composizione dell'addizione commutativa si ha pure:
- .
Cioè, ogni coset sinistro di H è anche un coset destro, e l'indice di H in G è semplicemente
- .
quindi cioè un sottogruppo normale con indice 3.[3] (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.[4])
Generalizzando, sia G sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo H
Allora i cosets o classi laterali destro e sinistro di H in G sono gli n insiemi (cioè l'indice di H in G vale )
che sono coincidenti essendo Z un gruppo additivo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante x è un insieme del tipo:
Non ci sono più di n cosets destro e sinistro, infatti
Le classe laterale del sottogruppo normale forma un sottogruppo
e viene detta classe di congruenza di x modulo n.[5] Il sottogruppo H = n Z è normale nel gruppo G = Z, e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente
detto gruppo additivo degli interi modulo n a cui viene associata una tabella Cayley n·n.
Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria dello spazio E(3) dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale, cioè . Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo
- come elemento neutro che coincide con il punto O dello spazio E(3).
- come elemento opposto rispetto alla legge composizione.
- cioè V è un gruppo abeliano.
Qualsiasi elemento vettore contiene sempre il punto O ed ha tre parametri che lo contraddistinguono: modulo (distanza OP), direzione (retta passante per OP) e verso. I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio E(3) tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro 0V, sono rette e piani passanti per l'origine O=(0,0,0) del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio e un vettore di , consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:
dove x è sempre il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di , cioè sono digiunti:
Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di V paralleli a W, e i laterali destri e sinistri coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè . Quindi è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:
- .
allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini
In termini dei vettori di E(3) a 3-dimensioni, detti vettori geometrici, questi sottospazi affini sono tutte le linee o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo , che sappiamo rappresentare una linea o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano . Se r denota una retta passante per l'origine O, allora r è un sottogruppo del gruppo abeliano . Se P è un punto di , allora la classe laterale
indica il sottospazio rappresentato da una linea r' parallela ad r e passante per il punto P.[6]
GL(n, K) oppure con GLn(K) indica il gruppo delle matrici sopra un campo K che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo . Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici
quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso
Prendiamo come il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti ),[7]
e consideriamo come sottogruppo di ad un parametro (abbiamo tre parametri noti come prima e ):
Fissiamo una matrice 2*2 da G e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H essendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S3, cioè:
mentre la generica classe laterale destra
Cioè, le classi laterali di sinistra sono costituite da tutte le matrici di G che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il
sottogruppo H è normale in G, mentre se consideriamo il sottogruppo
essendo
ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili (
), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile (
) e quindi
cioè è non normale in G.
Un sottogruppo H di un gruppo G si utilizza per definire l'azione di H su G in due modi naturali. L'azione destra,
- descritta dalla
e l'azione sinistra,
- descritta dalla
L'orbita dell'elemento sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistra , mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il coset destro [8].
- ^ Rotman, J.J., pp.24-27
- ^ Humphreys, J.F., Cp. VII
- ^ Fraleigh, p. 117
- ^ Fraleigh J.B., p. 169
- ^ Joshi K.D., p. 323
- ^ Rotman, p. 155
- ^ Burton, pp. 128, 135
- ^ Jacobson, p. 52
- Postille
- ^
Un'altra notazione per la legge di composizione è e si hanno le scritture equivalenti
- ^ Ricordiamo la notazione:
- H sottogruppo improprio o banale di G
- H sottogruppo proprio di G
- H sottogruppo normale di G oppure
- ^ a b c Quando H = N s'intendono che sono sottogruppi normali.
- (IT) Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7, OCLC 956260268. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (IT) Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (EN) Serge Lang, Algebra, Revised Third Edition, 2002, ISBN 0-387-95385-X, OCLC 48176673. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (EN) Humphreys, J.F., 7. Normal subgroups and quotient groups, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
- (EN) John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 5ª ed., Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-53467-2.
- (EN) K. D. Joshi, §5.2 Cosets of Subgroups, in Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, 1989, ISBN 81-224-0120-1.
- (EN) Joseph J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra with Applications, 3ª ed., Prentice-Hall, 2006, DOI:978-0-13-186267-8.
- (EN) Joseph J. Rotman, 2. The Isomorphism Theorems, in An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1995, ISBN 978-0387942858.
- (EN) David M. Burton, Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, 1988, ISBN 0-697-06761-0.
- (EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1.
- Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.