Formula di Cauchy per integrazioni ripetute

In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.

Enunciato

Sia $f$ una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto

$f^{(-n)}(x)=\int _{0}^{x}\int _{0}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{0}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})d\sigma _{n}\cdots d\sigma _{2}d\sigma _{1}$

è dato dal singolo integrale

$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)dy$.

Dimostrazione

La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché $f$ è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)$;

dove

$f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0$.

Ora, supposto questo vero per $n$, non resta che provarlo per $n+1$ . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Allora, applicando l'ipotesi induttiva,

${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

e questo completa la dimostrazione.

Applicazioni

Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare $(n-1)!$ come $\Gamma (n)$ (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.

Bibliografia

• (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2

Collegamenti esterni

• Alan Beardon, Fractional calculus II, su nrich.maths.org, University of Cambridge, 2000.