delle classi d'equivalenza; la classe è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di , per cui se due elementi non sono in relazione appartengono a classi di equivalenza differenti
e la loro unione, di tipo disgiunta, fornisce l'intero gruppo; in simboli
sono ben definiti per ogni tipo di sottogruppo ; se però è normale (come è stato assunto), si può munire di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in ; si definisce infatti il seguente prodotto:
cioè lo stesso discorso per i laterali sinistri e destri. Queste relazioni si possono riassumere nell'unica (essendo :
.
Questa definizione di composizione è ben definita in . Di seguito la dimostrazione in 2 step:
Vale la relazione per i laterali destri (una relazione analoga vale per i laterali sinistri)
la c.n. si ottiene per definizione di laterale destro
la c.s. si ottiene dalle relazioni infatti .
Se consideriamo la rappresentazione e poi un'altra si hanno le relazioni
e , con
allora dobbiamo costruirci la composizione
utilizzando le proprietà per i sottogruppi invarianti o normali si ha
quindi le due rappresentazioni coincidono. Con altri simboli
se e (cioè se e , con ), allora , che appartiene a perché questo è normale; di conseguenza, , e il prodotto è ben definito;
La struttura algebrica soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:
Legge associativa
Esistenza elemento neutro
l'elemento unità di è proprio (dove è l'elemento unità di ), in quanto, per ogni , si ha .
Eistenza elemento opposto
vale la relazione , perché (cioè è l'inverso di ).
Proiezione naturale nei due casi possibili: omomorfismo suriettivo e bigettivo
Essendo il sottogruppo lo possiamo anche indicare con ed anche . Fatta questa premessa per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica o proiezione naturale definita dall'applicazione:
In particolare se consideriamo il sottogruppo normale banale, cioè allora è un omomorfismo oltre che suriettivo anche iniettivo e le classi di equivalenza della partizione sono del tipo . In simboli:
quindi è normale essendo un gruppo abeliano. L'insieme dei laterali sinistri ha dimensione tre:
.
L'operazione binaria sopra definita trasforma questo insieme in un gruppo, noto come gruppo quoziente, che in questo caso è isomorfo al gruppo ciclico di ordine 3.
Il motivo per cui è chiamato gruppo quoziente deriva dalla divisione di numeri interi. Dividendo 12 per 3 si ottiene la risposta 4 perché è possibile raggruppare 12 oggetti in 4 sottoinsiemi di 3 oggetti. Il gruppo quoziente è la stessa idea, anche se alla fine ci ritroviamo come risultato un gruppo invece di un numero perché i gruppi possiedono una struttura algebrica ben definita invece di un insieme arbitrario di oggetti.
Nella sua formazione, quando si confronta con un normale sottogruppo di , la struttura del gruppo viene utilizzata per formare un naturale raggruppamento. Questi sono i coset o laterali di in . Poiché gli elementi iniziali sono un gruppo e un sottogruppo normale, il quoziente finale contiene più informazioni oltre al semplice numero di laterali (che è ciò che produce una divisione regolare tra interi), perchè ha una struttura di gruppo.
Consideriamo il gruppo degli interi e sia il sottogruppo di tutti gli interi pari. Essendo un gruppo abeliano, allora si ha . Abbiamo due classi laterali: l'insieme degli interi pari e quello dei dispari, quindi il gruppo quoziente è di ordine 2 isomorfo al gruppo ciclico. Cioè all'insieme dotato di struttura algebrica dove la legge di composizione è l'addizione modulo 2; a volte si dice che equaglia l'insieme con l'addizione modulo 2.
Spiegazione
Sia il resto di quando lo dividiamo per . Allora, per pari e per dispari.
Per definizione di , il kernel di , è l'insieme di tutti gli interi pari:
.
Poniamo . Quindi, è in sottogruppo, infatti l'elemento neutro in , cioè , sta in , la somma di due interi pari è pari e quindi se , allora anche (cioè l'operazione è interna, proprietà ci chiusura) e se è pari, anche l'elemento opposto è sempre pari cioè .
Adesso definiamo il seguente omomorfismo:
as per e indica il gruppo quoziente dei laterali sinistri del sottogruppo rispetto ; .
Nota that we have defined , is if is odd and if is even.
Possiamo generalizzare l'ultimo esempio. Consideriamo ancora una volta il gruppo di interi sotto addizione. Sia n un intero positivo. Considereremo il sottogruppo di costituito da tutti i multipli di . Ancora una volta è normale in perché è abeliano. I laterali destri sono la famiglia d'insiemi
.
Un intero fa parte dell'insieme laterale , where is the remainder when dividing by . The quotient can be thought of as the group of "remainders" modulo . Questo è un gruppo ciclico di ordine .
The twelfth roots of unity, which are points on the complexunit circle, form a multiplicative abelian group , shown on the picture on the right as colored balls with the number at each point giving its complex argument. Consider its subgroup made of the fourth roots of unity, shown as red balls. This normal subgroup splits the group into three cosets, shown in red, green and blue. One can check that the cosets form a group of three elements (the product of a red element with a blue element is blue, the inverse of a blue element is green, etc.). Thus, the quotient group is the group of three colors, which turns out to be the cyclic group with three elements.
Consider the group of real numbers under addition, and the subgroup of integers. Each coset of in is a set of the form , where is a real number. Since and are identical sets when the non-integer parts of and are equal, one may impose the restriction without change of meaning. Adding such cosets is done by adding the corresponding real numbers, and subtracting 1 if the result is greater than or equal to 1. The quotient group is isomorphic to the circle group, the group of complex numbers of absolute value 1 under multiplication, or correspondingly, the group of rotations in 2D about the origin, that is, the special orthogonal group. An isomorphism is given by (see Euler's identity).
If is the group of invertible real matrices, and is the subgroup of real matrices with determinant 1, then is normal in (since it is the kernel of the determinant homomorphism). The cosets of are the sets of matrices with a given determinant, and hence is isomorphic to the multiplicative group of non-zero real numbers. The group is known as the special linear group.
Consider the abelian group (that is, the set with addition modulo 4), and its subgroup . The quotient group is . This is a group with identity element , and group operations such as . Both the subgroup and the quotient group are isomorphic with .
Consider the multiplicative group . The set of th residues is a multiplicative subgroup isomorphic to . Then is normal in and the factor group has the cosets . The Paillier cryptosystem is based on the conjecture that it is difficult to determine the coset of a random element of without knowing the factorization of .
^Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da a è l'insieme degli elementi di che la funzione applica nell'elemento neutro di (in questo caso, ).