Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

Enunciato

Siano $f, g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni reali di variabile reale continue in $[a,b]\,$ e derivabili in $(a,b)\,$, con $g^{\prime}(x)$ diversa da 0 in ogni punto di tale intervallo. Allora

$\exists c \in (a,b) : \frac {f'(c)} {g'(c)} = \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}.$

Considerando in particolare la funzione $g(t)=t\,$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Dimostrazione del teorema

Si consideri la funzione di variabile reale $h\quad$ definita nell'intervallo $[a,b]\quad$ come

$h(t) = [f(b)-f(a)]g(t) - [g(b)-g(a)]f(t)\quad$

Questa funzione è continua nell'intervallo $[a,b]\quad$ e derivabile in $(a,b)\quad$, e

$h(a) = [f(b)-f(a)]g(a) - [g(b)-g(a)]f(a) = f(b)g(a) - f(a)g(a) - f(a)g(b) + f(a)g(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b).\quad$

$h(b) = [f(b)-f(a)]g(b) - [g(b)-g(a)]f(b) = f(b)g(b) - f(a)g(b) - f(b)g(b) + f(b)g(a) = -f(a)g(b) + f(b)g(a).\quad$

Da cui $h(a)=h(b)\quad$.

La funzione $h\quad$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto $c \in (a,b)\quad$ in cui $h'(c)=0\quad$, cioè

$[f(b)-f(a)]g'(c) - [g(b)-g(a)]f'(c) = 0,\quad$

che è equivalente alla tesi.

Applicazioni

Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Collegamenti esterni

• (EN) Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath

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