Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Sottogruppo normale

In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

In formule, il sottogruppo $K\subset G$ è normale se

$gK=Kg$

per ogni elemento $g\in G$. Il fatto che $K$ sia normale per $G$ si indica con $K\triangleleft G$.

I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente $G/K$.

Definizione

Un sottogruppo $N$ di un gruppo $G$ viene detto un sottogruppo normale di $G$ se è invariante per omomorfismi di coniugazione; cioè, la coniugazione di un elemento di $N$ per un elemento di $G$ sta sempre in $N.$Template:Sfn La notazione generica è $N\trianglelefteq G.$ mentre se è proprio con $N\triangleleft G.$

Definizioni equivalenti

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

• K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

$\forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K$

• K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

For any subgroup $N$ of $G,$ the following conditions are equivalent to $N$ being a normal subgroup of $G.$ Therefore, any one of them may be taken as the definition.

• The image of conjugation of $N$ by any element of $G$ is a subset of $N,$Template:Sfn i.e., $gNg^{-1}\subseteq N$ for all $g\in G$.
• The image of conjugation of $N$ by any element of $G$ is equal to $N,$Template:Sfn i.e., $gNg^{-1}=N$ for all $g\in G$.
• For all $g\in G,$ the left and right cosets $gN$ and $Ng$ are equal.Template:Sfn
• The sets of left and right cosets of $N$ in $G$ coincide.Template:Sfn
• Multiplication in $G$ preserves the equivalence relation "is in the same left coset as". That is, for every $g,g',h,h'\in G$ satisfying $gN=g'N$ and $hN=h'N$, we have $(gh)N=(g'h')N.$
• There exists a group on the set of left cosets of $N$ where multiplication of any two left cosets $gN$ and $hN$ yields the left coset $(gh)N$. (This group is called the quotient group of $G$ modulo $N$, denoted $G/N$.)
• $N$ is a union of conjugacy classes of $G.$Template:Sfn
• $N$ is preserved by the inner automorphisms of $G.$Template:Sfn
• There is some group homomorphism $G\to H$ whose kernel is $N.$Template:Sfn
• There exists a group homomorphism $\phi :G\to H$ whose fibers form a group where the identity element is $N$ and multiplication of any two fibers $\phi ^{-1}(h_{1})$ and $\phi ^{-1}(h_{2})$ yields the fiber $\phi ^{-1}(h_{1}h_{2})$. (This group is the same group $G/N$ mentioned above.)
• There is some congruence relation on $G$ for which the equivalence class of the identity element is $N$.
• For all $n\in N$ and $g\in G,$ the commutator $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ is in $N.$
• Any two elements commute modulo the normal subgroup membership relation. That is, for all $g,h\in G,$ $gh\in N$ if and only if $hg\in N.$

Proprietà

• Se $K\triangleleft H\triangleleft G$, non è detto che $K\triangleleft G$. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di $H$ che sono isomorfismi interni di $G$ e che non mandano $K$ in sé. Per esempio, nel gruppo alterno $A_{4}$ ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in $A_{4}$. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di $A_{4}$ di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in $A_{4}$.

Se però si aggiunge l'ipotesi che $K$ sia caratteristico, in $H$, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di $H$, si ha che effettivamente $K\triangleleft G$.

Esempi

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
• L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo $H$ del gruppo finito $G$ è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di $G$, allora $H$ è un sottogruppo normale di $G$.

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlate

• Ideale (matematica)
• Sottogruppo
• Teoria dei gruppi