Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

Prodotto di due gruppi

Definizione

Il prodotto diretto di due gruppi (G₁, *₁), (G₂, *₂) è il gruppo (G₁× G₂, *_×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G₁×G₂ dell'operazione *_× definita da

$(a_{1},a_{2})*_{\times }(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),$

con $a_{1}$ e $b_{1}$ appartenenti a $G_{1}$ e $a_{2}$ e $b_{2}$ appartenenti a $G_{2}$.

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

$(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}):=(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}).$

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

• L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi G₁ e G₂.
• L'elemento neutro è dato da (e₁, e₂) dove e₁ ed e₂ sono gli elementi unità di G₁ e G₂ rispettivamente. Infatti:

  $(e_{1},e_{2})(a_{1},a_{2})=(e_{1}a_{1},e_{2}a_{2})=(a_{1},a_{2}).$

• L'elemento inverso di (a₁, a₂) è

  $(a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}),$

  infatti:

  $(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})(a_{1},a_{2})=(a_{1}^{-1}a_{1},a_{2}^{-1}a_{2})=(e_{1},e_{2}).$

Se G₁ e G₂ sono scritti in notazione additiva, (G₁× G₂, +_×) è anche detto somma diretta dei due gruppi.

Proprietà

• I due gruppi fattori G₁ e G₂ possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali

  $H_{1}=\{(a_{1},e_{2})\ |\ a_{1}\in G_{1}\}$

  $H_{2}=\{(e_{1},a_{2})\ |\ a_{2}\in G_{2}\}$

  rispettivamente. Infatti le due applicazioni

  $f_{1}:G_{1}\to H_{1}\quad f_{1}(a_{1})=(a_{1},e_{2})$

  $f_{2}:G_{2}\to H_{2}\quad f_{2}(a_{2})=(e_{1},a_{2})$

  sono isomorfismi di gruppi.
• Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
• Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
• Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

Esempio

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gⁿ. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zⁿ e Rⁿ a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

Strutture aggiuntive

Anelli

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra. Nel prodotto diretto ci sono divisori dello zero, infatti $(a,0_{B})\cdot (0_{A},b)=0_{A\times B}$

Spazi vettoriali

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

$\lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)$

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kⁿ, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

Campi

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.

Voci correlate

• Glossario di teoria dei gruppi
• Topologia prodotto
• Prodotto semidiretto
• Prodotto intrecciato
• Complemento (teoria dei gruppi)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Prodotto diretto, su MathWorld, Wolfram Research.