Integrale

Template:Voce complessa In analisi matematica l'integrale di una funzione è un operatore matematico che associa alla funzione l'area sottesa dalla funzione rispetto all'ascissa nel caso di una funzione a una variabile. Nel caso di funzioni a più variabili l'integrale calcola l'area, il volume sotteso, ecc., a seconda del numero di variabili della funzione da integrare.

Cenni storici

L'idea di base del concetto di integrale si trova già in Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 ed il 212 a.C, in parte nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o del segmento di parabola detto metodo di esaustione e più precisamente nel calcolo dell'area della superficie racchiusa dal primo giro della spirale (che Archimede stima dall'alto e dal basso con un caso particolare di quelle che saranno dette "somme di Riemann").

Nel XVII secolo, vari matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, ad esempio:

$x^{\alpha }(\alpha >-1)\;$ (Fermat 1636), $1 \over x$ (Nicolaus Mercator, 1668).

Tutto ciò prima che Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprissero indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale che ricondusse tale problema alla ricerca di una primitiva o antiderivata di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite e da comprendere più estese classi di funzioni. Ma nel 1875 Gaston Darboux mostrò con un suo celebre teorema che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann. Tale maggior generalità servì di spunto a Mauro Picone nel 1923 per la definizione del limite d'una variabile detta ordinata.

Introduzione euristica

Il problema originario del calcolo integrale è quello di definire e calcolare l'area (con segno) della figura che ha per bordi un intervallo $\ I$ sull'asse delle ascisse, limitato e chiuso (l'intervallo di integrazione), il grafico di una assegnata funzione $\ f$ (la funzione integranda) definita e limitata su $\ I$, ed i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo $\ I$ al grafico della funzione $\ f$. Il numero reale che esprime tale area viene chiamato integrale della funzione $\ f$ esteso all'intervallo $\ I$.

Se il grafico della funzione $\ f$ è costituito da uno o più segmenti, il problema si risolve facilmente, poiché la figura si può scomporre in rettangoli o trapezi, di cui sappiamo definire e calcolare le aree: la somma algebrica di tali aree è – per definizione – l'integrale cercato.

Nel caso generale, l'idea di base consiste nel suddividere la figura in sottili strisce verticali, che siano assimilabili a rettangoli: calcolando l'area di ciascun rettangolino e sommando i risultati così ottenuti, si può ritenere di avere un'approssimazione del numero che cerchiamo. Si può sperare che suddividendo in strisce sempre più sottili, si ottengano approssimazioni sempre migliori dell'integrale cercato: se ciò accade, si dirà che la funzione $\ f$ è integrabile sull'intervallo $\ I$. In caso contrario, si dirà che la funzione $\ f$ non è integrabile sull'intervallo $\ I$.

In termini più formali, suddividiamo l'intervallo $\ [a,b]$ in $\ n$ sub-intervalli di tipo $\ [x_{s-1},x_{s}]$ con $\ s=1,2,...,n$ e $\ x_{0}=a;x_{n}=b$. Per ciascun sub-intervallo scegliamo un punto $\ t_{s}$, la cui immagine sarà $\ f(t_{s})$, e costruiamo il rettangolino che ha per base l'intervallo $\ [x_{s-1},x_{s}]$ e per altezza $\ f(t_{s})$; l'area della figura costituita da tutti i rettangolini così costruiti è data dalla somma (detta di Cauchy-Riemann)

$\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}:=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})$.

Se, al diminuire dell'ampiezza degli intervalli $\ \delta x_{s}$, i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero $\ i$, la funzione $\ f$ è integrabile sull'intervallo $\ [a,b]$, ed $\ i$ è il suo integrale.

L'intera analisi poggia sul fatto che sia il modo di suddividere gli intervalli, sia la scelta dei punti interni a tali intervalli devono risultare irrilevanti, altrimenti si avrebbe che l'area sottesa alla curva in un dato intervallo risulta diversa a seconda delle scelte effettuate in merito alla suddivisione degli intervalli e ai punti interni agli intervalli che sono stati scelti. Tale condizione sussiste in quanto la curva è uniformemente continua all'interno del singolo intervallino in cui è stato suddiviso il compatto.

Infatti, se vale la continuità uniforme, presi due punti $\ t_{s}$ e $\ t'_{s}$ interni all'intervallo $\ (x_{s-1},x_{s})$, ove $\ x_{s}-x_{s-1}=\delta x$ e pertanto il numero di tali intervallini (dato che suddividiamo [a,b] in intervalli di ampiezza $\ \delta x$) sarà pari ad $n={{(b-a)} \over {\delta x}}$

Le altezze dei relativi rettangoli $\ f(t_{s})$ ed $\ f(t'_{s})$ differiranno della quantità $\ \delta \!f(t_{s})$. Da ciò discende che, se poniamo $\ \delta \!f(t)$ come la più grande delle quantità $\ |\delta \!f(t_{s})|$ la differenza di valutazione dell'area del generico rettangolino conseguente alla scelta del punto $\ t_{s}$ o del punto $\ t'_{s}$ è al massimo di $\ \delta \!f(t)\,\delta x$.
La differenza di valutazione della somma di s rettangolini (in cui ricordiamo che $n={{(b-a)} \over {\delta x}}$) è al massimo pari a

$\ {\frac {(b-a)}{\delta x}}\delta \!f(t)\,\delta x=(b-a)\,\delta \!f(t)$

Come è facile notare tale discrepanza di valutazione diminuisce al tendere a zero dell'ampiezza del generico intervallo in cui è suddiviso $\ [a,b]$ essendo per ipotesi la funzione uniformemente continua.

Integrale di Riemann

Rappresentazione grafica del calcolo dell'integrale di Riemann

Se si suddivide tramite una partizione un intervallo chiuso $\ [a,b]$ in n sottointervalli $\ [x_{s},x_{s-1}]$ d'uguale ampiezza $\delta x={{(b-a)} \over {n}}$, e si sceglie in ogni intervallo un punto arbitrario $\ t_{s}$, è possibile confezionare la somma $\ \sigma _{n}=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}={{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})$ detta somma integrale di Riemann.

Esiste un altro metodo di procedura per la costruzione dell'integrale. Una volta effettuata la partizione il punto $\ t_{s}$ non è arbitrario. Vengono definiti due punti:

• $m_{k}=\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x)$

• $M_{k}=\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f(x)$

Questi due punti corrispondono all'ordinata minore nell'intervallo ($m_{k}$) e all'ordinata maggiore dell'intervallo ($M_{k}$).

Si definisce somma integrale inferiore (relativa alla partizione P):

$s(P)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}-x_{k-1})$

Ammettendo che f assuma valori positivi nell'intervallo, la s(P) è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano.

Si definisce somma integrale superiore (relativa alla partizione P):

$S(P)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(x_{k}-x_{k-1})$

Analogamente su quanto detto prima, S(P) è la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione R.

Lemma: Sia $m_{k}\leq f(x)\leq M_{k}\quad \forall x\in [a,b]$ allora per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha:

$m(b-a)\leq s(P)\leq S(Q)\leq M(b-a)$.

Siano

$\delta =s(p)\ \ \forall P$ partizione di [a,b]

$\Sigma =S(p)\ \ \forall P$ partizione di [a,b]

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $\delta ,\ \Sigma$ sono separati cioè:

$\forall s\in \delta ,\ \forall S\in \Sigma$ si ha che $s\leq S$.

L'assioma di completezza di $\mathbb {R}$ afferma che allora esiste almeno un numero reale $\xi \in \mathbb {R}$ tale che:

$s\leq \xi \leq S,\ \forall s\in \delta ,\ \forall S\in \Sigma$

Se vi è un unico elemento di separazione $\xi$ tra $\delta$ e $\Sigma$ allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann e l'elemento $\xi$ si indica con:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x$

e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a,b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda (a primo estremo, b secondo estremo). La variabile di integrazione è una variabile muta cioè $\int \!f(x)\,\mathrm {d} x$ ha lo stesso significato $\int \!f(t)\,\mathrm {d} t$, $\int \!f(j)\,\mathrm {d} j$. Il dx è detto differenziale della variabile di integrazione.

Definizione di Integrale

L'integrale secondo Riemann di f nell'intervallo chiuso e limitato $\ [a,b]$ è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale $\ \sigma _{n}={{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})$, se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti $\ t_{s}$:

$\ \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})$

L'esistenza di un unico elemento separatore tra $\delta \ \Sigma$ nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

$s(f)=S(f)\$

in questo caso:

$s(f)=S(f)=\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x$

La funzione limitata f(x) è integrabile in [a,b] se e solo se

$\forall \epsilon >0\ \exists P\in [a,b]:S(P)-s(p)<\epsilon$

Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

$r={(x,y),\ 0\leq y\leq f(x),\ x\in [a,b]}$.

Se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Condizione d'integrabilità

La seguente è condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità di una funzione

Se la funzione $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$ è continua (e quindi continua uniformemente per il teorema di Heine-Cantor), allora è integrabile.

Per provare ciò si suddivide l'intervallo $\ [a,b]$ in n sottointervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$ di uguale ampiezza $\delta x={{(b-a)} \over {n}}$, si sceglie in ogni intervallo un punto $\ t_{i}$ interno a $\ [x_{i-1},x_{i}]$ e si confeziona la somma integrale

$\ \sigma _{n}=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}={{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})$

Ponendo $\ M_{i}$ ed $\ m_{i}$ il massimo ed il minimo di $\ f$ in ogni intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ si costruiscono quindi le somme

$\ S_{n}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

$\ s_{n}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

Ovviamente si ha che all'aumentare di n $\ S_{n}$ diminuisce, mentre $\ s_{n}$ cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Essendo ora $\ m_{i}\leq f(t_{i})\leq M_{i}$, si avrà che $\ s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n}$

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta $\ s_{n}\to s$ ed $\ S_{n}\to S$, con $\ s\leq S$. All'affinarsi della partizione di $\ [a,b]$ risulta $\ s=S$. Infatti è possibile fissare un $\ \epsilon$ piccolo a piacere ed un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare

$\ S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<\epsilon$

Infatti, per la continuità uniforme di f, la differenza $\ M_{i}-m_{i}$ minore di $\ {{\epsilon } \over {(b-a)}}$, se la distanza dei rispettivi punti di massimo e di minimo è minore di un $\ \lambda$ opportunamente scelto, il quale può essere determinato in dipendenza da $\ \epsilon$. Ovvero per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato si ha

$\ S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<{{\epsilon } \over {(b-a)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=\epsilon$.

Essendo la precedente espressione valida anche definitivamente, per il teorema del confronto delle successioni si avrà:

$\ \lim _{n\to +\infty }(S_{n}-s_{n})\leq \epsilon$

ovvero

$\ S-s\leq \epsilon$

da cui, data l'arbitrarietà del fattore $\ \epsilon$ risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero, da cui:

$\ S=s=I$

Finalmente essendo $\ s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n}$, per il teorema del confronto risulta $\ \sigma _{n}\to I$ da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto $\ [a,b]$, l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$, ovvero la funzione è integrabile.

Non tutte le funzioni limitate sono integrabili.

La continuità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità.

Proprietà degli integrali

Linearità dell'integrale

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:

$\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x$

Infatti, dalla definizione si ha che

$\ \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})]$

da cui

$\ \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})]$

dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha

$\ \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})$

da cui discende la proprietà di linearità

Additività

Sia f continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x$

Infatti, dalla definizione si ha che

$\ \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})$

da cui se si ha $\ c\in [a,b]$ esistono un valore $\ h$ ed un valore $\ k$ la cui somma è $\ n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti

$\ {\frac {b-c}{h}}={\frac {c-a}{k}}=\delta x$

$\ \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\left(\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right)$

da cui distribuendo la misura dell'intervallo

$\ \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})$

In cui $\ n-k=h$ e, considerando l'intervallo $\ [c,b]$, l'indice $\ s=h+1,...,n$ può essere riscritto come $\ s=1,...,k$ in quanto $\ t_{h+1}$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $\ [c,b]$. Risulta allora ( ricordando che $\ {{b-c} \over {h}}={{c-a} \over {k}}=\delta x$)

$\ \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }{{c-a} \over {h}}\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }{{b-c} \over {k}}\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)$

da cui discende la proprietà di additività

Monotonia (o teorema del confronto)

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$. Allora:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x$

Infatti, se si ha che $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $\ [a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto ovviamente la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ si ottiene

$\ {{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq {{b-a} \over {n}}g(t_{s})\$ per ogni $\ t_{s}$.

A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente

$\ \sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s})$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

$\ \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s})$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali

Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del Confronto. Sia f integrabile in un intervallo [a, b], allora si ha:

$\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x$

Infatti, essendo valida la relazione $-|f(t_{s})|\leq f(t_{s})\leq |f(t_{s})|$ per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

$-\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|$.

Moltiplicando ogni membro per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ ed applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali

$-\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|$.

$-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x$

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

$\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media

Se $f:[a,b]\to \mathbb {R} \!$ è continua allora esiste $c\in (a,b)\!$ tale che ${{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=f(c)\!$.

Assoluta integrabilità

Se consideriamo una funzione f, si dice che f è assolutamente integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty )$ se e solo se su questo stesso intervallo aperto è integrabile anche $\left|f\right|$.

Esiste inoltre un teorema che ci garantisce che una funzione assolutamente integrabile è integrabile, sempre su un intervallo del tipo $[a,+\infty )$: data una funzione $f$ assolutamente integrabile, per il teorema sull'esistenza integrali impropri all'infinito sappiamo che la condizione necessaria e sufficiente affinché $\int _{a}^{+\infty }\!f(x)\,\mathrm {d} x$ esista finito è che

$\forall \epsilon >0\quad \exists \gamma >0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\gamma \quad \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\epsilon$

In questa ultima espressione $f(x)$ con $\left|f(x)\right|$: la condizione di esistenza diventa allora:

$\forall \epsilon >0\quad \exists \gamma >0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\gamma \quad \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|\right|<\epsilon$

Ma per le proprietà del valore assoluto per gli integrali abbiamo

$\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x$

E quindi possiamo scrivere

$\forall \epsilon >0\quad \exists \gamma >0:\quad \forall x_{1},x_{2}<\gamma \quad \int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\epsilon$

Da cui si ricava che f(x) è integrabile

Bisogna fare molta attenzione a non confondere questo teorema con il suo simmetrico, che è falso, dal momento che non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è

${\frac {\sin x}{x}}$

Esempio di calcolo di un integrale

Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali ed orientate delle ascisse e delle ordinate. Supponiamo ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è $\ f(x)=mx$. Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto $\ [a,b]$ situato sull'asse delle ascisse.

Supponiamo per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.

Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto $\ [a,b]$ è pari all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza pari a $\ b-a$, base maggiore $\ mb$ e base minore $\ ma$. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula $\ {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)$, ovvero $\ m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$.

Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto $\ [a,b]$ effettuiamo una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali

$\ x_{0}=a;\quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}};\quad x_{2}=a+2{{b-a} \over {n}};\quad ...\,;\quad x_{n}=a+n{{b-a} \over {n}}=b$

Nel generico intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ scegliamo come punto arbitrario il punto più esterno $\ x_{i}$ (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione $\ y=mx$ nel generico punto $\ x_{i}$ interno all'intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$.

Si avrà quindi $\ f(x_{i})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]$, e la somma integrale di Riemann diventa

$\ \sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}){{b-a} \over {n}}=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^{2}\sum _{i=1}^{n}i$

nella quale la progressione aritmetica $\ \sum _{i=1}^{n}i={{n(n+1)} \over {2}}$ restituisce un'espressione delle somme di Riemann pari a

$\ \sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}{{n+1} \over {2n}}$

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

$\ \int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}\lim _{n\to +\infty }{{n+1} \over {2n}}$

Calcolando il limite per $\ n\to \infty$, dato che $\ {{n+1} \over {2n}}\to \ {{1} \over {2}}$, s'ottiene

$\ \int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+{{m(b-a)^{2}} \over {2}}$

dalla quale, eseguendo la somma si ricava

$\ \int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta $\ y=mx$ sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Calcolo differenziale e calcolo integrale

In questa sezione vengono riportati i due teoremi fondamentali del calcolo integrale i quali, grazie agli studi ed alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabiliscono l'intima connessione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale.

Premessa:

Funzione Integrale

Sia f una funzione definita su un intervallo I. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo J, chiuso e limitato, contenuto in I, ovviamente al variare dell'intervallo J varierà il valore di tale integrale. In particolare, se J è l'intervallo che ha un estremo x₀ fissato una volta per tutte e l'altro estremo x variabile, l'integrale di f su tale intervallo [x₀,x] diventa una funzione di x. Tale funzione si dice funzione integrale di f (chiamata anche integrale di Torricelli), e si indica con:

$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t$

Si noti che la variabile di integrazione t (variabile muta) ha un nome diverso dalla variabile x, estremo mobile dell'intervallo di integrazione: infatti t varia tra x₀ e x.

Vale il seguente

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Se $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ è una funzione continua allora la "funzione integrale" definita come

$F(x):=\int _{a}^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t$

è una funzione derivabile in $[a,b]$ e si ha che $F^{\prime }(x)=f(x)$ per ogni $x\in [a,b]$.

Questo teorema viene definito teorema di Torricelli-Barrow.

Questo teorema è il "pilastro portante" dell'analisi integrale in quanto funge da collante tra calcolo differenziale e calcolo integrale.

Il concetto seguente, quello di primitiva, è un concetto del calcolo differenziale:

Una funzione $\ F$ , continua e derivabile in un intervallo $\ [a,b]$ è detta primitiva di $\ f$ in $\ [a,b]$ se:

$\ F'(x)=f(x)\quad \forall x\in [a,b]$

Quindi il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l'esistenza di una primitiva.

Infinite Primitive

Se $F'(X)=f(x)$, allora Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle D(F(X) + c) = f(x)} dove c è una qualunque costante in $\mathbb {R}$. Quindi se una funzione f(x) ammette primitiva F(x), esiste un'intera classe di primitive del tipo G(x)=F(x)+c, viceversa tutte le primitive di f(x) sono della forma F(x)+c.

Dimostrazione

Siano F(x) e G(x) due primitive di f(x). Consideriamo la funzione H(x) = F(x) - G(x). La derivata prima di H(x) sarà data da:

$H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0,\ \forall x\in [a,b]$

Quindi H(x) si mantiene costante su tutto l'intervallo a,b e ciò vuol dire che

$H(x)=c\$

Il che dimostra la tesi.

Condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva

Se f(x) è continua in [a,b] allora f(x) ammette una (e dunque infinite) primitive (primo teorema fondamentale del calcolo integrale).

Integrale indefinito

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. La totalità delle primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con il simbolo: $\int \!f(x)\,\mathrm {d} x$, che si legge "integrale indefinito della funzione $f(x)$ in $\mathrm {d} x$"; $f(x)$ è detta funzione integranda.

L'integrazione indefinita è quindi il processo inverso alla derivazione.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto.

Se $\ f$ è una funzione definita in un intervallo, e se ammette una primitiva $\ F$ su tale intervallo, allora l'integrale indefinito di $\ f$ è:

$\ \int \!f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c$

dove $\ c$ è una generica costante reale.

Come conseguenza diretta del primo teorema fondamentale del calcolo integrale si ha il seguente

Formula fondamentale del calcolo integrale

Se $\ f$ è continua in $\ [a,b]$, ed $\ F$ è una primitiva di $\ f$ in $\ [a,b]$ allora

$\ \int _{a}^{b}\!f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)$

Infatti, come già notato in precedenza si ha

$\ F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}\!f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{a}\!f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{a}\!f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{b}\!f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{a}\!f(t)\,\mathrm {d} t$

da cui si ottiene

$\ \int _{a}^{b}\!f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)$

ossia la tesi.

È possibile dimostrare la formula con le sole ipotesi, più deboli, di integrabilità di $\ f$ nell'intervallo $\ [a,b]$.

La precedente è una vera e propria formula di calcolo per gli integrali definiti.

Metodi di integrazione

Per calcolare esattamente un integrale si può cercare di riconoscere nella funzione integranda la derivata di una qualche funzione e poi applicare la formula sopra descritta (questi sono detti "integrali immediati").

Altrimenti esistono dei metodi che hanno come scopo la semplificazione della funzione integranda:

• se l'integranda è il prodotto di due funzioni, allora l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di due integrali, di cui uno calcolabile immediatamente grazie alla formula fondamentale del calcolo integrale
• se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, allora l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di proporzionalità che dipende dalla trasformazione in gioco

Esempio di calcolo di un integrale

In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione.

Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza $\ f(x)=mx$ attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula

$\ \int mx^{\alpha }dx={{mx^{\alpha +1}} \over {\alpha +1}}+c$

la cui derivata coincide proprio con $\ mx^{\alpha }$.

Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione $\ f(x)=mx$ ed integrandola si ottiene

$\ \int mxdx={{mx^{2}} \over {2}}+c$

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto $\ [a,b]$ si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

$\ \int _{a}^{b}mxdx=\left[{{mb^{2}} \over {2}}+c\right]-\left[{{ma^{2}} \over {2}}+c\right]=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Integrale di Lebesgue

Esistono diversi modi per definire l'integrale di una funzione. Tra i più importanti, oltre all'integrale di Riemann, sopra riportato, è degna di nota la modalità di definizione nota come integrale di Lebesgue.

La definizione dell'integrale di Lebesgue, al contrario dell'integrale di Riemann, si basa sulla definizione di area (definita in altro modo), o più in generale di misura di una superficie o di un insieme. Invece di approssimare tramite funzioni a gradini come si fa per l'integrale di Riemann, per calcolare l'integrale di Lebesgue si fa uso delle funzioni semplici, ovvero funzioni che assumono un numero finito di valori. La definizione di Lebesgue si applica direttamente a funzioni definite in un dominio multidimensionale, mentre la definizione di Riemann vale soltanto per funzioni definite in sottoinsiemi di $\mathbb {R} \$e soltanto successivamente si estende, in maniera un po' artificiale, a funzioni definite in $\mathbb {R} ^{2}\$, $\mathbb {R} ^{3}\$, a curve e superfici.

Si dimostra che il risultato ottenuto dall'integrale proprio di Riemann, quando esiste, coincide con l'integrale di Lebesgue. Al contrario esistono casi in cui esiste l'integrale di Lebesgue ma non esiste l'integrale di Riemann.

Integrale di Stieltjes

Un'altra possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

$\int _{a}^{b}f\mathrm {d} g$.

Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm {d} g(x)=g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $fg^{\prime }$, cioè:

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Stima di somme tramite integrale

Un metodo molto semplice e più generale di altri metodi, per ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale.

Sia $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni $a\in \mathbb {N}$ e ogni intero $n\geq a$ abbiamo

$f(a)+\int _{a}^{n}f(x)dx\leq \sum _{k=a}^{n}f(k)\leq \int _{a}^{n}f(x)dx+f(n)$

Dimostrazione

Se n = a la proprietà è banale. Supponiamo allora $n\,>\,a$. Osserviamo che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di $\mathbb {R} ^{+}$ e inoltre per ogni $k\in \mathbb {N}$ si ha che

$f(k)\leq \int _{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k+1)$

Sommando per $k=a,a+1,...n-1$ otteniamo dalla prima disuguaglianza

$\sum _{k=a}^{n-1}f(k)\leq \sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)dx=\int _{a}^{n}f(x)dx$

mentre dalla seconda

$\int _{a}^{n}f(x)dx=\sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)dx\leq \sum _{k=a}^{n-1}f(k+1)$

Aggiungendo ora $f(a)$ e $f(n)$ alle due somme precedenti si ottiene l'enunciato

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, per diversi scopi. I tre qui nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico ad essere definito è stato l'integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione, con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock (e indipendentemente, Jaroslaw Kurzweil) ha dato una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge, che sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Ito

L'integrale di Ito fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici.
In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni: una di queste è sicuramente: $\int _{0}^{T}X_{s}dW_{s}$. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto, il processo di Wiener, anche essendo continuo quasi certamente (P=1) non risulta derivabile (a traiettorie irregolari); gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. Pertanto si cerca in questa pubblicazione di definire formalmente l'integrale di Itô (o integrale stocastico).
L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti, appunto, integrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (moto aleatorio delle particelle, prezzo delle azioni nei mercati finanziari ecc.) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Tavole di integrali

• Integrali più comuni
• Integrali definiti

Integrali indefiniti

• di funzioni razionali
• di funzioni irrazionali
• di funzioni trigonometriche
• di funzioni iperboliche
• di funzioni esponenziali
• di funzioni logaritmiche
• di funzioni d'arco
• di funzioni d'area

Altre tipologie di integrali

• Integrale multiplo
  • Integrale doppio
  • Integrale triplo
• Integrale di linea
• Integrale di superficie
• Integrale funzionale

Bibliografia

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Voci correlate

• Integrale sui cammini
• Derivata
• Funzione sommabile
• Metodi di integrazione
• Passaggio al limite sotto segno di integrale

Collegamenti esterni

• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)