Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Limite di una successione.

Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema afferma che una successione monotona di numeri reali converge sempre ad un limite ; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.

Tale limite è finito se e solo se è limitata.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La successione :

è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:

La successione :

è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo la successione sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per la monotonia, per ogni . Per definizione, allora, il limite di è infinito.

Se la successione è limitata, sia il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per ogni . Per definizione di limite, è il limite di .

Nel caso in cui sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione e poi applicare le proprietà dei limiti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.
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