Integrale multiplo

Integrale come regione sotto una curva

L' integrale multiplo è una forma di integrale definito esteso a funzioni di più variabili reali (ad esempio a funzioni della forma $f(x,y)\,\!$ o della forma $f(x,y,z)\,\!$).

Gli integrali definiti possiedono interpretazioni geometriche e fisiche significative. Limitandoci per semplicità alle funzioni con valori positivi, mentre l'integrale definito per una funzione di una variabile rappresenta l'area della regione chiamata trapezoide compresa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse, l'integrale definito per funzioni di due variabili (integrale doppio) fornisce la misura del volume del solido chiamato cilindroide compreso tra la superficie che ne dà il grafico e il piano contenente il suo dominio. In generale gli integrali definiti di funzioni di 3 o più variabili sono interpretabili come misure di "ipervolumi", ovvero di volumi di solidi di 4 o più dimensioni, non rappresentabili quindi graficamente.
Un integrale triplo, integrale definito di una funzione di tre variabili, è interpretabile fisicamente come misura della massa di un corpo che occupa lo spazio che corrisponde al dominio e che ha la densità variabile fornita dai valori della funzione stessa.

Integrale multiplo come volume sotto una superficie

Nell'esempio a lato il volume del parallelepipedo $P$ dai lati 4×6×5 si può ottenere in due modi:

• tramite l'integrale doppio $\iint _{D}5\ dxdy$ della funzione f(x,y) = 5 calcolata nell' "intervallo a due dimensioni" D (regione appartenente al piano xy)
• tramite l'integrale triplo $\iiint _{P}1\ dxdydz$ della funzione costante 1 calcolata rispetto all' "intervallo a tre dimensioni" coincidente con il parallelepipedo stesso $P$; in questo caso il volume è calcolato come "somma" di tutti gli elementi infinitesimi che compongono il dominio.

Si parla esclusivamente di integrali definiti in quanto, nel caso di funzioni a più variabili, è impossibile determinare una primitiva dell'argomento dell'integrale e di conseguenza non hanno senso gli integrali indefiniti.

Alcune applicazioni pratiche

Calcolo diretto di E - grafico

Questi integrali sono utilizzati in numerosi ambiti della fisica.

In meccanica il momento d'inerzia viene calcolato come un integrale di volume (ovvero un integrale triplo) della densità pesata col quadrato della distanza dall'asse:

$I_{z}=\int _{V}^{.}\rho r^{2}dV$.

Nell'ambito dell'elettromagnetismo le equazioni di Maxwell possono essere scritte sotto forma di integrali multipli per calcolare i campi elettrici e magnetici totali. Ad esempio il campo elettrico generato da una distribuzione di carica si ottiene tramite un integrale triplo di una funzione vettoriale:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\operatorname {d} ^{3}r'$.

Definizione matematica

Sia $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ed $f:T\longrightarrow \mathbb {R}$ una funzione misurabile. Sia quindi $\delta$ il più grande diametro di una partizione finita $D=\{T_{i}\}_{i=1}^{n}$ di $T$. Sia $P_{i}$ un punto in $T_{i}$, per $i=1,\ldots ,n$. Allora, se esiste:

$I=\lim _{\delta \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(P_{i})\,\mathrm {mis} (T_{i})\in \mathbb {R}$

(e se è indipendente dalla successione di partizioni scelte, e dai punti $P_{i}\in T_{i}$), esso è detto l'integrale multiplo di $F$ su $T$ (qui $\mathrm {mis} (T_{i})$ è la misura di Peano-Jordan di $T_{i}$).

Teoremi

Valgono gli stessi teoremi che caratterizzano l'integrale per funzioni ad una variabile, ovvero la linearità, l'additività, il confronto, il valore assoluto oltre al Teorema della media e al Teorema della media pesata.

Teorema della media per gli integrali multipli

Esiste inoltre un teorema per determinare il valore medio di una funzione a più variabili in una regione D:

${\bar {f}}={\frac {1}{area\ D}}\iint _{D}f(x,y)dxdy$

Nelle applicazioni più tecniche, come quelle nel campo dell'ingegneria, ci si riferisce quasi esclusivamente a integrali doppi e tripli per la tipologia dei problemi analizzati.

Integrale doppio

Dalla definizione generale, nel caso in cui $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ si ha che

$l=\iint _{T}f(x,y)dxdy$

è l' integrale doppio di f su T.

Integrale triplo

È immediata l'estensione della definizione all'integrale triplo. Dalla definizione generale, nel caso in cui $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ si ha che

$l=\iiint _{T}f(x,y,z)dxdydz$

è l' integrale triplo di f su T.

Metodi di integrazione

La risoluzione dei problemi con integrali multipli consiste nella maggior parte dei casi nel riuscire a ricondurre i calcoli ad una serie di integrali ad una variabile, gli unici direttamente risolvibili.

Esame diretto

In alcuni casi particolari è possibile evitare calcoli diretti e ottenere subito il risultato dell'integrazione.

Costanti

Nel caso di integrazioni di funzioni costanti il risultato è immediato; basta moltiplicare la misura del dominio per il valore della costante n. Se n = 1, in R² si avrà il volume del cilindroide ottenuto, mentre in R³ il suo ipervolume.

Esempio:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ e $f(x,y)=2\,\!$

integriamo f su D:

$\int _{2}^{4}\int _{3}^{6}\ 2\ dxdy=misD\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12$

Sfruttamento delle simmetrie

Nel caso di domini per i quali sono presenti simmetrie dei vari assi e la funzione presenta almeno una disparità per la rispettiva variabile, l'integrale diventa nullo (la somma di quantità uguali e opposte è nulla).

È sufficiente che - nelle funzioni in Rⁿ - sia dispari la variabile dipendente il cui asse sia simmetrico.

Esempio (1):

Sia $f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5$ e $T=x^{2}+y^{2}\leq 1$ la regione di integrazione (disco di raggio 1 con centro nell'origine degli assi, frontiera inclusa).

Sfruttando la linearità degli integrali lo si può scomporre in tre parti:

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\ dy=$

$=\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\ dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy$

sia 2 sin(x) che 3 y³ sono funzioni dispari ed è inoltre evidente come il disco T presenti una simmetria sia per l'asse x che per l'asse y; ne consegue che l'unico contributo al risultato finale dell'integrale è quello della funzione costante 5 in quanto gli altri due sono nulli.

Esempio (2):

Si consideri la funzione $f(x,y,z)=x\ e^{y^{2}+z^{2}}$ e come regione di integrazione la sfera di raggio 2 e centro nell'origine $T=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$.

La "palla" presenta una simmetria per tutti e tre gli assi, ma è sufficiente quella rispetto alla x, variabile per la quale la funzione è dispari, per rendere nullo tutto l'integrale.

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Formule di riduzione

Le formule di riduzione sfruttano il concetto di dominio semplice in modo che l'integrale multiplo venga scomposto in un prodotto di altri integrali ad una variabile. Questi vanno svolti da destra verso sinistra considerando le altre variabili da non integrare come costanti (stesso procedimento nel calcolo delle derivate parziali).

Domini normali in R²

Asse x

Sia D un dominio misurabile normale all'asse x e sia $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ una funzione continua; siano quindi α(x) e β(x) (definite in [a,b]) le due funzioni che determinano D. Allora:

$\iint _{T}f(x,y)\ dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$.

Asse y

Sia D un dominio misurabile normale all'asse y e sia $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ una funzione continua; siano quindi α(y) e β(y) (definite in [a,b]) le due funzioni che determinano D. Allora:

$\iint _{T}f(x,y)\ dxdy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)dx$.

Esempio: regione D per integrale tramite formule di riduzione

Esempio:

Si consideri la regione $D=\{(x,y)\ /\ x=0,y=1,y=x^{2}\}$ (si veda il grafico in esempio). Calcolare

$\iint _{D}\ (x+y)\ dx\ dy$.

Questo dominio è sia normale all'asse x che all'asse y; per poter applicare le formule si devono individuare le funzioni che determinano D e l'intervallo di definizione.

In questo caso le due funzioni sono

$\alpha (x)=x^{2}\,\!$ e $\beta (x)=1\,\!$

mentre l'intervallo è dato dall'intersezioni delle funzioni con $x=0\,\!$, e quindi $[a,b]=[0,1]\,\!$ (si è scelta la normalità rispetto all'asse x per una miglior comprensione del grafico).

È ora possibile applicare le formule:

$\iint _{D}\ (x+y)\ dx\ dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\ dy=\int _{0}^{1}dx\ [xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ ]_{x^{2}}^{1}$

(è stato calcolato per prima il secondo integrale considerando la x come una costante). Le operazioni rimanenti consistono nell'applicazione delle tecniche di integrazione di base:

$\int _{0}^{1}\ [xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ ]_{x^{2}}^{1}\ dx=\int _{0}^{1}\ (x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}})\ dx=...={\frac {13}{20}}$.

Se si fosse scelta la normalità rispetto all'asse y si sarebbe potuto calcolare

$\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\ dx$

ottenendo lo stesso risultato.

Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

DIMOSTRAZIONE FORMULA DI RIDUZIONE INTEGRALI DOPPI.

Sia f(x,y) una funzione continua allora:

$\iint _{T}f(x,y)\ dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$.

DIM. il calcolo di tale integrale può essere sempre fatto se le due funzioni α(x) e β(x) sono continue in [a,b], in quanto ho una composizione di una funzione f, continua, con altre due funzioni continue; quindi una funzione composta due funzioni continue è continua.

$\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$=$\sum _{i=1}^{k}\int _{x_{(}i-1)}^{x_{i}}dx\sum _{j=1}^{k}\int _{\psi _{(}j-1)}^{\psi _{j}}f(x,y)dy$=$\sum _{i,j=1}^{k}\int _{x_{(}i-1)}^{x_{i}}dx\int _{\psi _{(}j-1)}^{\psi _{j}}f(x,y)dy$≤$\sum _{i,j=1}^{k}M_{(}ij)\int _{x_{(}i-1)}^{x_{i}}dx\int _{\psi _{(}j-1)}^{\psi _{j}}dy$ con i≠j

$M_{(}ij)=sup{f(x,y)}$ Sapendo che: $\int _{x_{(}i-1)}^{x_{i}}dx\int _{\psi _{(}j-1)}^{\psi _{j}}dy=m(D_{(}ij))$ Sia ha che: $\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$≤$\sum _{i,j=1}^{k}M_{(}ij)m(D_{(}ij))$

Vale lo stesso se si sostituisce al posto della f il suo inff(x,y), minorandola: $\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$≥$\sum _{i,j=1}^{k}m(ij)m(D_{(}ij))$

Quindi alla fine risulterà: $\sum _{i,j=1}^{k}m(ij)m(D_{(}ij))$≤$\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$≤$\sum _{i,j=1}^{k}M_{(}ij)m(D_{(}ij))$

Le due somme rappresentano rispettivamente le s(f,P) e S(f,P) al variare della partizione del dominio normale. Esse sono le somme che individuano le aree dei cilindroidi inscritti e circoscritti alla funzione riferite all'estremo superiore e inferiore. Quindi sono due classi numeriche separate: se sono contigue, il loro unico elemento di separazione è: $\sum _{i,j=1}^{k}m(ij)m(D_{(}ij))$≤$\iint _{D}f(x,y)dxdy$≤$\sum _{i,j=1}^{k}M_{(}ij)m(D_{(}ij))$

Quindi si può concludere:

$\iint _{D}f(x,y)dxdy$=$\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$ c.v.d.

Domini normali in R³

È immediata l'estensione dell'applicazione delle formule per gli integrali tripli.

INTEGRAZIONE PER FILI

Sia T un dominio normale al piano xy relativamente alle funzioni α (x,y) e β (x,y) . Allora:

$\iiint _{T}f(x,y,z)\ dxdydz=\iint _{D}dxdy\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\ dz$

(la definizione è analoga per gli altri 5 casi di normalità in R₃).

Formula di riduzione per sezioni o strati

$\iiint _{T}f(x,y,z)\ dxdydz=\int _{I}dz\iint _{B}f(x,y,z)dxdy$

Si suppone di considerare il dominio normale D e di suddividerlo in sezione mediante un piano passante per un certo valore di z: z=t t∈I. L'integrale doppio calcola l'area di questa sezione e l'integrale esteso ad I somma le sezioni di area equivalente.

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Cambio di variabili

Molto spesso a causa di domini non facilmente interpretabili (senza normalità o con formule complesse da integrare) si ricorre ad un cambio di variabili per aggirare il problema e integrare funzioni note su regioni "comode", ovvero descrivibili in maniera più semplice tramite formule. Ne consegue quindi che:

• La funzione deve essere trasformata a seconda del nuovo valore attribuito alle variabili.
  

Esempio (1-a):

Sia $f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}$;

se si imposta $x'=x-1,\ y=y'\,\!$ quindi $x=x'+1,\ y=y'\,\!$ si ottiene la nuova funzione

$f(x,y)_{2}=x'^{2}+{\sqrt {y}}$.

• Idem per il dominio in quanto esso è delimitato da funzioni dipendenti sempre dalle variabili originarie alle quali abbiamo applicato la trasformazione (x e y ad esempio).
• I differenziali (dx e dy ad esempio) dipendono dal determinante della matrice jacobiana contenente le derivate parziali delle trasformazioni rispetto alle nuove variabili (si veda come esempio il differenziale della trasformazione in coordinate polari).

Esistono tre principali "generi" di cambio di variabili (una in R₂, due in R₃), tuttavia è possibile giostrare con questo metodo in modo da operare la sostituzione che più si ritiene effiace.

Coordinate polari

Passaggio da coordinate cartesiane a polari

In R₂ se il dominio sul quale si deve integrare presenta una "simmetria" circolare (ovvero descrive corone circolari) e la funzione abbia delle caratteristiche "particolari" (si mostrerà meglio in seguito) si può applicare il passaggio in coordinate polari (vedi esempio in figura), ovvero vengono trasformati i generici punti P(x,y) in coordinate cartesiane nei rispettivi punti in coordinate polari. Ciò permette di cambiare la "forma" del dominio e semplificare la funzione per rendere più semplici e immediati i calcoli.

La relazione fondamentale per effettuare la trasformazione della funzione è la seguente:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi )$.

Esempio (2-a):

Se $f(x,y)=x+y\,\!$

applicando la trasformazione si ottiene

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi )$.

Esempio (2-b):

Se $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$

Si ottiene in questo caso

$f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos \phi ^{2}+\sin \phi ^{2})=\rho ^{2}\,\!$

sfruttando la prima relazione fondamentale della trigonometria (molto utile per la semplificazione di questi calcoli).

Esempio trasformazione dominio da cartesiano a polare

La trasformazione del dominio avviene esplicitando la lunghezza dei raggi della corona e l'ampiezza dell'angolo descritto per definire gli intervalli ρ, φ a partire da quelli x, y.

Esempio (2-c):

Sia $D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!$, ovvero una circonferenza di raggio 2; è evidente che l'angolo descritto è l'angolo giro, quindi φ varierà da 0 a 2π, mentre il raggio della corona va da 0 a 2 (la corona con raggio interno nullo è proprio un cerchio) e ρ varierà da 0 a 2.

Esempio (2-d):

Sia $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}$ ovvero la corona circolare nel semipiano delle y positive (si veda la figura in esempio); si nota che φ descrive un angolo piatto mentre ρ varia da 2 a 3. Di conseguenza il dominio trasformato sarà il seguente rettangolo: $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}$.

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è il seguente:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho$

ottenuto inserendo le derivate parziali di x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) nella prima colonna rispetto a ρ e nella seconda rispetto a φ .

I differenziali dx dy nella trasformazione di coordinate diventano così ρ dρ dφ.

Una volta trasformata la funzione e valutato il dominio, si può definire la formula per il cambio di variabili in coordinate polari:

$\iint _{D}f(x,y)\ dxdy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \ d\rho d\phi$

Si noti come φ è valido nell'intervallo [0, 2π] mentre ρ, essendo la misura di una lunghezza, può avere esclusivamente valori positivi.

Esempio (2-e):

Sia $f(x,y)=x\,\!$ e il dominio lo stesso dell'esempio 2-d.

Dall'analisi di D precedentemente effettuata sono già noti gli intervalli di ρ (da 2 a 3) e φ (da 0 a π). Si muti ora la funzione:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi$;

infine si applichi la formula per l'integrazione:

$\iint _{D}x\ dxdy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \ d\rho d\phi$.

Una volta noti gli intervalli si ha

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\phi \ d\rho =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \ [{\frac {\rho ^{3}}{3}}]_{2}^{3}=[\sin \phi ]_{0}^{\pi }\ (9-{\frac {8}{3}})=0$ .

Esempio (2-f):

È possibile grazie alle coordinate polari andare a calcolare l'area di una circonferenza di raggio generico R.

Sia $D=\{x^{2}+y^{2}\leq R\}.$ Presa $f(x,y)=1$, si calcola il seguente integrale:

$\iint _{D}f(x,y)\ dxdy=\iint _{D}1\ dxdy.$

Passando dalle coordinate cartesiane a quelle polari si ginuge al seguente integrale doppio:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\rho \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{R}\rho \ d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi$

L'ultimo passaggio è possibile in quanto la funzione $f(\rho ,\phi )=\rho$ è indipendente da $\phi$. Quindi si ottiene:

$\int _{0}^{R}\rho \ d\rho \int _{0}^{2\pi }\ d\phi ={\frac {\rho ^{2}}{2}}]_{0}^{R}\phi ]_{0}^{2\pi }={\frac {R^{2}}{2}}2\pi =\pi R^{2}$

che è la formula nota per il calcolo dell'area del cerchio di raggio generico R.

Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche

In R₃ l'integrazione su domini aventi una base circolare può avvenire tramite il passaggio in coordinate cilindriche; la trasformazione della funzione si effettua con la seguente relazione:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)$

La trasformazione del dominio non è difficile in quanto graficamente varia solo la forma della base mentre lo sviluppo tridimensionale segue quello della regione di partenza.

Esempio (3-a):

Sia $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}$ (ovvero il "tubo" avente come corona circolare di base la regione nell'esempio 2-d e come altezza 5); applicando la trasformazione si ottiene la regione $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$ (ovvero il parallelepipedo con base il rettangolo nell'esempio 2-d e altezza 5).

Poiché la componente z rimane invariata nella trasformazione, i differenziali dx dy dz variano come nel passaggio in coordinate polari, ovvero diventano ρ dρ dφ dz.

Si può quindi applicare la formula finale per il passaggio in coordinate cilindriche:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\ dxdydz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \ d\rho d\phi dz$

È consigliabile utilizzare questo metodo nel caso di domini cilindrici, conici, o comunque regioni per le quali è comodo sia delimitare l'intervallo delle z che trasformare la base circolare e la funzione.

Esempio (3-b):

Sia $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!$ con dominio d'integrazione il cilindro $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}$.

La trasformazione di D in coordinate cilindriche è la seguente:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$

mentre la funzione diventa

$f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!$

Si applica infine la formula di integrazione:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\ dxdydz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\ \rho \ d\rho d\phi dz$;

esplicitando la formula si ha

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\ [{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}]_{0}^{3}\ dz=$

$=2\pi \int _{-5}^{5}\ ({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z)dz=...=2\pi ({\frac {405}{2}}+225)$.

Coordinate sferiche

Coordinate sferiche

In R₃ alcuni domini presentano una simmetria sferica, ovvero è possibile determinare le coordinate di ogni punto appartenente alla regione di integrazione tramite due angoli e una distanza. Si può sfruttare, quindi, il passaggio in coordinate sferiche; la funzione viene trasformata tramite la seguente relazione:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\,\!$

Si noti che i punti appartenenti all'asse z non hanno caratterizzazione unica in coordinate sferiche, quindi θ può variare da 0 a π .

Il dominio di integrazione che meglio si adatta a questo passaggio è ovviamente la sfera.

Esempio (4-a):

Sia $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16$ (sfera di raggio 4 e centro nell'origine); tramite la trasformazione si ottiene la regione $T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$.

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è il seguente:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \theta$

I differenziali dx dy dz vengono quindi trasformati in ρ² sin(θ) dρ dθ dφ .

Si ricava infine la formula finale di integrazione:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\ dxdydz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi$

È consigliabile utilizzare questo metodo nel caso di domini sferici e funzioni facilmente semplificabili tramite la prima relazione fondamentale della trigonometria estesa in R₃ (si veda l'esempio 4-b); negli altri casi è spesso consigliato ricorrere al passaggio in coordinate cilindriche (si veda l'esempio 4-c).

Esempio (4-b):

Sia D la stessa regione dell'esempio 4-a ed $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!$

La trasformazione della funzione è molto semplice:

$f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2}\,\!$

mentre del dominio già conosciamo gli intervalli della regione trasformata in T:

$(0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi )$.

Si applica quindi la formula d'integrazione:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\ dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi$;

sviluppando si ha

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta [{\frac {\rho ^{5}}{5}}]_{0}^{4}\ d\theta =$

$=2\pi \ [{\frac {\rho ^{5}}{5}}]_{0}^{4}\ [-\cos \theta ]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}$.

Esempio (4-c):

Sia D la palla di centro 0 e raggio 3a ($D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!$) ed $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!$.

Analizzando il dominio potrebbe sembrare conveniente adottare il passaggio in coordinate sferiche, infatti gli intervalli delle variabili che delimitano la nuova regione T sono immediati:

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi$.

Tuttavia trasformando la funzione si ottiene

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Applicando la formula per l'integrazione si otterrebbe

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \ d\rho d\theta d\phi$

molto complicato da svolgere. Il problema si risolve utilizzando il passaggio in coordinate cilindriche. I nuovi intervalli di T diventano

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}$;

l'intervallo delle z è stato ottenuto dividendo la palla in due semisfere semplicemente risolvendo la disequazione della definizione di D (e trasformando direttamente x² + y² in ρ²). La nuova funzione è semplicemente ρ². Applicando quindi la formula di integrazione si ha

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz$.

Sviluppando si ottiene

$\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\ d\rho$.

Si applica ora la trasformazione

$9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!$

(gli intervalli diventano $0,3a\longrightarrow 9a^{2},0$). Si ha

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}dt$;

dato che $\rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!$, si ricava

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}dt$;

invertendo gli estremi d'integrazione e moltiplicando i termini tra parentesi l'integrale si può scomporre in due parti direttamente risolvibili: $2\pi [\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\ dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\ dt]=2\pi [9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}]_{0}^{9a^{2}}=$

$=2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}$.

Applicando il passaggio in coordinate cilindriche si è riusciti a ricondurre l'integrale triplo ad un'integrale ad una variabile più facilmente risolvibile grazie a calcoli molto meno complessi.

Esempio di applicazioni matematiche - Calcoli di volume

Grazie ai metodi precedentemente descritti è possibile dimostrare il valore del volume di alcuni solidi.

• Cilindro

Considerando come dominio la base circolare di raggio R e come funzione la costante dell'altezza h, si applica direttamente il passaggio in coordinate polari.

$Volume=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{r}h\rho \ d\rho =h2\pi [{\frac {\rho ^{2}}{2}}]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$

Verifica: Volume = area di base * altezza = $\pi R^{2}\cdot h$

• Sfera

È di rapida dimostrazione la formula applicando il passaggio in coordinate sferiche della funzione costante 1 integrato sulla sfera di raggio R stessa.

$Volume=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}d\rho =$

$2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

• Tetraedro (piramide a base triangolare o 3-simplesso)

Il volume del tetraedro con vertice nell'origine e spigoli di lunghezza l adagiati sui tre assi cartesiani può essere calcolato tramite le formule di riduzione considerando, ad esempio, la normalità rispetto al piano xy e all'asse x e come funzione la costante 1.

$Volume=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}dy\int _{0}^{l-x-y}dz=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}(l-x-y)dy=$

$\int _{0}^{l}(l^{2}-2lx+x^{2}-{\frac {(l-x)^{2}}{2}})dx=l^{3}-ll^{2}+{\frac {l^{3}}{3}}-[{\frac {l^{2}}{2}}-lx+{\frac {x^{2}}{2}}]_{0}^{l}=$

$={\frac {l^{3}}{3}}-{\frac {l^{3}}{6}}={\frac {l^{3}}{6}}$

Verifica: Volume = area di base * altezza / 3 = ${\frac {l^{2}}{2}}\cdot l/3={\frac {l^{3}}{6}}$

File:Dominio improprio.jpg

Esempio di dominio improprio

Integrale multiplo improprio

Nel caso di domini illimitati o integrandi illimitati presso qualche parte della frontiera del dominio si parla di integrale doppio improprio o integrale triplo improprio.

Se una funzione è non negativa ($f(x,y)\geq 0\,\!$) l'integrale o converge o diverge all'infinito.

Voci correlate

• Integrale
• Principali teoremi dell'analisi che riguardano gli integrali multipli
  • Teorema della divergenza
  • Teorema di Stokes
  • Teorema di Green

Bibliografia

Robert A. Adams - Calcolo differenziale 2, Funzioni di più variabili ISBN 8840810242
Enrico Giusti - Analisi Matematica 2