Regole di derivazione

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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e funzioni reali di variabile reale derivabili, e sia l'operazione di derivazione rispetto a :

con:

Derivate fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Più in generale si ha:

Dimostrazione
Applicando il teorema binomiale:
e le proprietà dei coefficienti binomiali si ottiene:

Altre funzioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione
applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
Applicando la regola sopra dimostrata si ottiene:

Funzioni logaritmiche ed esponenziali[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione
Applicando ancora le proprietà dei logaritmi si ottiene:
Applicando il limite notevole dove si ottiene:
  • Dalla regola scaturisce:
Dimostrazione
dal limite notevole  
dal limite notevole  
Un altro sistema è il seguente. Applicando le proprietà dei logaritmi:
e applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
e quindi
Dimostrazione
  • Data la funzione applicando la regola di derivazione della funzione inversa, in questo caso , e si ha:
  • Applicando la regola di derivazione scaturisce:

Funzioni trigonometriche[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
Usando le proprietà trigonometriche di addizione:
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garantisce che:
Da quest'ultima espressione ricaviamo:
che sostituendo nello sviluppo del limite:
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garatisce che:
da quest'ultima espressione ricaviamo:
che sostituendo nello sviluppo del limite:
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno:
Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni:
A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:
Dimostrazione
Le notazioni e indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione e moltiplichiamo da ambo le parti in modo da ottenere . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
di conseguenza si ha che:
.
Ricordando che:
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
.
Dimostrazione
Le notazioni e indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione e moltiplichiamo da ambo le parti in modo da ottenere . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
di conseguenza si ha che:
.
Ricordando che:
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
.

Funzioni iperboliche[modifica | modifica wikitesto]

Derivate di funzioni composte[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione
e dunque si deriva seguendo la regola di e del prodotto

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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