Principio di indeterminazione di Heisenberg

Werner Karl Heisenberg nel 1927, quando si occupò dei principi della meccanica quantistica e in particolare del principio di indeterminazione.

In meccanica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg stabilisce i limiti nella conoscenza, o determinazione, dei valori che grandezze fisiche incompatibili assumono in un sistema fisico.

Fu enunciato nel 1927 dal fisico tedesco Werner Karl Heisenberg ed è un costituente fondamentale della meccanica quantistica. Nella forma più nota viene espresso dalla relazione:

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

in cui $\Delta x$ è l'incertezza sulla posizione, $\Delta p$ quella sulla quantità di moto e $\hbar$ la costante di Planck ridotta, $h$/$2\pi$.

Introduzione

«Nell'ambito della realtà le cui connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere (all'interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso»

(Über quantenmechanische Kinematik und Mechanik, Mathematische Annalen, 1926)

In una delle formulazioni moderne il principio assume la forma di una disuguaglianza del prodotto tra la deviazione standard $\sigma _{x}$ della posizione $x$ e quella $\sigma _{p}$ della quantità di moto $p$ di una particella:

$\sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$.

La relazione indica che il prodotto delle due deviazioni standard è sempre maggiore o al più uguale ad un valore minimo. In questi termini il principio di indeterminazione implica che ad una particella non è possibile assegnare, e quindi non è possibile conoscere, un definito valore della posizione e della velocità o quantità di moto nello stesso istante temporale con precisione assoluta, ovvero con incertezza nulla: tanto più si tenta di ridurre l'incertezza ($\sigma$) su una variabile, tanto più aumenta l'incertezza sull'altra (relazione di proporzionalità inversa tra le due deviazioni standard).

In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette osservabili fisiche, non possono essere misurate entrambe nello stesso momento sono dette incompatibili. Esempi di coppie di osservabili incompatibili sono le componenti dei vettori di spin (o del momento angolare), la posizione e la velocità in una direzione e, almeno in un contesto relativistico, l'intervallo di tempo di un fenomeno e la sua variazione di energia. Poiché il principio di indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare contemporaneamente con precisione teoricamente illimitata i valori di variabili incompatibili, l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di conseguenza. In tal senso il principio è legato al dualismo onda-particella e al principio di complementarità, secondo i quali le particelle subatomiche esibiscono proprietà sia corpuscolari, sia ondulatorie, ma non entrambe nello stesso momento.

Esso non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, che può essere determinata con precisione arbitraria. I dettagli del processo di misura, così come l'interpretazione della meccanica quantistica e dei suoi postulati, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze di indeterminazione che possono essere correlate di volta in volta all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo, alla mancata presenza di significato di due osservabili in contemporanea per lo stesso sistema, o anche ai limiti di precisione degli apparati di misura.

Il principio di indeterminazione rappresenta il cardine della meccanica quantistica, confermato da oltre ottant'anni di esperimenti, e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.

Negli anni si è appurato che dai postulati della meccanica quantistica è possibile ricavare tale principio (sia la formulazione originale, sia quelle successive), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili con precisione arbitraria (men che meno assoluta) contemporaneamente.

Quindi, strettamente parlando, esso ha perso (in quanto dimostrabile) la valenza di principio fisico, ma, nella sua forma più astratta, resta un principio di assoluta generalità e di fondamento della fisica, al pari del principio di relatività.

Panoramica

L'indeterminazione inizialmente fu spiegata da Heisenberg sostenendo che la misura della posizione disturba necessariamente la quantità di moto della particella. In realtà l'incertezza non sempre proviene dall'influenza perturbatrice della misura, ma è legata in modo indissolubile alla natura quantistica della particella stessa. È più accurato dire che in meccanica quantistica le particelle hanno alcune proprietà tipiche delle onde.

Si consideri la seguente analogia: supponiamo di avere un segnale che varia nel tempo, come un'onda sonora, e che si voglia sapere le frequenze esatte che compongono il segnale in un dato momento. Questo risulta essere impossibile: infatti, per poter determinare le frequenze accuratamente, è necessario campionare il segnale per un intervallo temporale, e si perde quindi la precisione sul tempo. (In altre parole, un suono non può avere sia un tempo preciso, come in un breve impulso, sia una frequenza precisa, come in un tono puro continuo). Si veda, a questo proposito, la voce Principio di indeterminazione tonale. Il tempo e la frequenza dell'onda nel tempo sono analoghi alla posizione e alla quantità di moto dell'onda nello spazio.

Come già osservato le singole grandezze osservabili per le cui coppie esista una relazione di indeterminazione, se prese separatamente possono essere misurate con un errore minimo e precisione assoluta. Le deviazioni standard utilizzate nel calcolo dell'indeterminazione sono diverse da quelle rilevabili per le stesse grandezze misurate singolarmente. In questo modo l'errore calcolabile con la relazione di indeterminazione non deriva da un problema statistico o da una conoscenza imprecisa dell'oggetto della misura, ma dall'atto di misurare le grandezze simultaneamente. In questo senso il mondo del determinismo causale dovrebbe cedere il passo a quello dell'indeterminismo e del caso. Infatti l'impossibilità di misurare simultaneamente con precisione due grandezze incompatibili equivale all'impossibilità di verificare il nesso causale fra due generiche quantità.

Solo dal 1925 - 27 in poi, con i lavori di Max Born, Werner Heisenberg e Pascual Jordan, di Paul Adrien Maurice Dirac, di John von Neumann, nasce la fisica della non commutatività. Questi studi dimostrano che l'indeterminazione implica la non commutatività. La nuova fisica deriva le relazioni di indeterminazione fra grandezze fisiche dal fatto che a queste non può applicarsi la proprietà commutativa. Viceversa, la situazione particolare in cui due grandezze osservabili si possano misurare simultaneamente, come accadrebbe per due diverse componenti della posizione, è precisamente quella in cui il prodotto (degli scarti quadratici, e delle relazioni fra le grandezze) non dipende dall'ordine dei fattori. Le grandezze osservabili compatibili sono quelle che commutano tra loro, per cui l'indeterminazione vale zero.

I fenomeni fisici sono descritti con il formalismo matriciale, con matrici quadrate di ordine arbitrario (da 2 righe per 2 colonne, sino a infinite righe per infinite colonne) che godono in molti casi della proprietà distributiva e associativa, ma non di quella commutativa. È noto che il prodotto matriciale non è commutativo, salvo che per le matrici di ordine 1, che sono i numeri stessi e per le matrici circolanti, ovvero matrici nelle quali colonne e righe slittano in avanti di un elemento:

$C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}$

Portando un esempio numerico:

${\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\3&4&1&2\\2&3&4&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}4&1&2&3\\3&4&1&2\\2&3&4&1\\1&2&3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&1&2&3\\3&4&1&2\\2&3&4&1\\1&2&3&4\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\3&4&1&2\\2&3&4&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}20&26&28&26\\26&20&26&28\\28&26&20&26\\26&28&26&20\\\end{bmatrix}}$

Prodotto e somma sono operatori commutativi, ma non lo sono combinazioni lineari di queste operazioni, e le composizioni di due operazioni geometriche, come due rotazioni o due traslazioni, da queste descrivibili. La proprietà commutativa si applica a:

• Operatori lineari per matrici di ordine 1, ossia numeri semplici, cui si applica somma, prodotto, un operatore lineare geometrico come una traslazione o una rotazione, oppure la combinatoria.
• Alcune particolari matrici di ordine superiore al primo, che godono della proprietà commutativa del prodotto.

Nella fisica dei fenomeni atomici o subatomici, le grandezze osservabili non si possono descrivere mediante numeri o funzioni a valori numerici, ma mediante "operatori lineari autoaggiunti su uno spazio di Hilbert", ovvero mediante elementi autoaggiunti di un'algebra di operatori. Il principio di indeterminazione restituisce la forma di una relazione esatta, che determina una struttura matematica estremamente rigida e precisa. Il principio di indeterminazione ha posto fine al determinismo così come lo aveva teorizzato in origine Isaac Newton e rielaborato in tempi più recenti dal marchese De Laplace. Per Newton era sufficiente conoscere posizione e velocità di un corpo in un dato momento per poter calcolare con le leggi della fisica classica tutti i suoi stati precedenti e futuri.

Laplace riprese questa teoria, affermando che doveva esistere un insieme di leggi fisiche tale da poter predire qualunque accadimento futuro e passato che si sarebbe verificato nell'universo. Laplace notava che le leggi fisiche ammettono una molteplicità di soluzioni: il problema poteva risolversi ammettendo che lo stesso esperimento possa dare esiti diversi, oppure introducendo un vincolo matematico, tale da ridurre a una sola le soluzioni possibili. Il principio di Heisenberg esclude questa opzione, essendo la condizione al contorno un intervallo di valori misurabili per ogni grandezza osservata, per cui lo stato del sistema (al contorno e in qualunque altro istante) non è determinato in modo univoco; la meccanica quantistica introduce una novità di fondo nel metodo sperimentale: la teoria non predice più un numero, ma un insieme di valori associati a una probabilità.

La teoria viene verificata su grandi numeri: l'esperimento è ripetuto molte volte, per accertare che le possibili soluzioni si manifestano con la frequenza predetta dalla teoria. Einstein rifiutò questa interpretazione. Laplace era convinto che la soluzione che realmente si verifica, è determinata da un vincolo, la condizione al contorno. Se potessimo conoscere la "condizione iniziale" o "condizione al contorno" in un qualunque istante dell'universo (l'origine, l'istante presente, etc.), saremmo in grado di predire lo stato dell'universo in qualunque altro istante. Il principio di indeterminazione esclude la possibilità di conoscere con un'accuratezza infinita la condizione iniziale nello spazio e/o nel tempo: la condizione al contorno è determinata da più di una grandezza fisica, ad esempio posizione e velocità, tempo ed energia, che quindi risentono dell'indeterminazione.

Se l'universo fosse descrivibile in un dato istante da una sola grandezza fisica, la misura della condizione al contorno avrebbe comunque una dispersione non inferiore a quella individuata dal principio di indeterminazione: il quadrato dell'errore di misura sarebbe maggiore della quantità individuata da Heisenberg. Un esempio di condizione al contorno con una sola grandezza è quello delle soluzioni alle equazioni di campo di Einstein, per le quali lo stato dell'universo in qualunque istante è descrivibile da un'unica grandezza, la sua densità. Quanto più è precisa la misura, tanto più essa è invasiva e disturba il fenomeno da misurare. Il principio "condanna" a un compromesso, dovendo il prodotto degli errori di misura essere maggiore di una certa costante: se si ottiene un'accuratezza infinita nel misurare la velocità e, quindi, una bassissima dispersione dei dati, sarà in proporzione tanto più alto l'errore nel determinare la posizione, e viceversa. Stando alla teoria quantistica anche un singolo quanto di luce disturberà la particella, alterandone in modo imprevedibile la velocità. Il principio di Heisenberg mostra che non ha senso dare una misura senza fornire l'errore relativo: tutte le misure dovrebbero essere fornite nella forma di un valore più o meno una certa dispersione.

Indeterminazione e non commutatività

In meccanica quantistica, le variabili fisiche sono rappresentate da operatori autoaggiunti, come x (con il significato di variabile di posizione) e d/dx.
Questi due operatori non commutano, come si vede calcolando i loro prodotti x(d/dx) e (d/dx)x su una funzione d'onda monodimensionale ψ(x):

${\begin{aligned}&x\,{d \over dx}\psi =x\,\psi '\\&{d \over dx}\,x\,\psi =\psi +x\,\psi '\end{aligned}}$

Dal confronto risulta immediato che

$x\,\psi '\neq \psi +x\,\psi '$

Questa situazione viene indicata introducendo il simbolo di commutatore tra i due operatori x e d/dx :

$\left[x,\,{d \over dx}\right]=x\,{d \over dx}\,-\,{d \over dx}\,x\,\neq \,0$

Se due operatori autoaggiunti non commutano, allora le due variabili corrispondenti sono incompatibili. Ciò significa che non è possibile conoscerle entrambe con precisione arbitraria, a seguito di misure simultanee o successive su tali variabili. Ad esempio, la posizione x e il momento lineare p di una particella lungo l'asse x sono rappresentati rispettivamente dagli operatori posizione ${\hat {x}}$ e momento ${\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}$.
Il loro commutatore coincide, a meno della costante ih/2π, con l'esempio fatto sopra:

$\left[{\hat {x}},\,{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\,{\hat {p}}-{\hat {p}}\,{\hat {x}}\,=\,i\,\hbar$

quindi, di nuovo, gli operatori non commutano e il significato fisico è che la posizione e il momento lineare lungo una data direzione sono grandezze incompatibili ovvero non determinabili entrambe con precisione arbitraria.

Disuguaglianza di Robertson

In termini della varianza di due osservabili incompatibili associate a una funzione d'onda, il principio di indeterminazione è espresso da una disuguaglianza dimostrata per la prima volta da E. H. Kennard nel 1927 per l'indeterminazione posizione/momento, ed estesa nel 1929 da H. P. Robertson al caso di due generiche variabili incompatibili.

Dimostrazione

Presi gli operatori ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come ${\hat {A}}_{0}={\hat {A}}-\left\langle {\hat {A}}\right\rangle$ e ${\hat {B}}_{0}={\hat {B}}-\left\langle {\hat {B}}\right\rangle$.
Di conseguenza le varianze hanno la forma $\sigma ^{2}({\hat {A}})=\left\langle {\hat {A}}_{0}^{2}\right\rangle$ e $\sigma ^{2}({\hat {B}})=\left\langle {\hat {B}}_{0}^{2}\right\rangle$. Il prodotto delle varianze può essere riscritto come:

$\sigma ^{2}({\hat {A}})\cdot \sigma ^{2}({\hat {B}})=\left\langle {\hat {A}}_{0}^{2}\right\rangle \left\langle {\hat {B}}_{0}^{2}\right\rangle \geq \left\|\left\langle {\hat {A}}_{0}{\hat {B}}_{0}\right\rangle \right\|^{2}$

ovvero la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Per procedere riscriviamo ${\hat {A}}_{0}{\hat {B}}_{0}$ in funzione del commutatore e dell'anticommutatore

${\hat {A}}_{0}{\hat {B}}_{0}={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}_{0},{\hat {B}}_{0}\right]+{\frac {1}{2}}\left\{{\hat {A}}_{0},{\hat {B}}_{0}\right\}$

e notiamo che $\left[{\hat {A}}_{0},{\hat {B}}_{0}\right]=\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]$ dato che le traslazioni non influenzano i commutatori.
Supponendo di poter scrivere $\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]=i{\hat {C}}$ (questo, ad esempio, è vero per tutte le coppie di grandezze coniugate), otteniamo

$\sigma ^{2}({\hat {A}})\cdot \sigma ^{2}({\hat {B}})=\left[\sigma ({\hat {A}})\cdot \sigma ({\hat {B}})\right]^{2}\geq \left\|\left\langle {\frac {i}{2}}{\hat {C}}+{\frac {1}{2}}\left\{{\hat {A}}_{0},{\hat {B}}_{0}\right\}\right\rangle \right\|^{2}\geq {\frac {\left\|\left\langle {\hat {C}}\right\rangle \right\|^{2}}{4}}$

ovvero

$\sigma ({\hat {A}})\cdot \sigma ({\hat {B}})\geq {\frac {1}{2}}\,\left\|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle \right\|$

che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.
Nel caso particolare dell'indeterminazione fra posizione e momento, dato che $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar$, si ottiene $\sigma ({\hat {x}})\cdot \sigma ({\hat {p}})\geq {\frac {\hbar }{2}}$, ovvero $\sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$.

Corollari

Come risulta dalla dimostrazione formale di cui sopra:

• il prodotto delle incertezze nelle due misure non può essere inferiore alla costante di Planck;
• il principio di indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare posizione e carica elettrica contemporaneamente e con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio di indeterminazione si applica alla misura di $x$ e della componente della quantità di moto lungo $x$, questo non si applica alla misura contemporanea di $x$ e di $p_{y}$ (dato che $\left[x,p_{y}\right]=0$).

Indeterminazione e correlazione statistica

L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla correlazione statistica. La disuguaglianza di Robertson

$\sigma ({\hat {A}})\cdot \sigma ({\hat {B}})\geq {\frac {1}{2}}\,\left\|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle \right\|$

implica infatti tra le grandezze osservabili $A$ e $B$ covarianza $\sigma _{AB}$ e correlazione $\rho _{AB}$ nulle.

La covarianza statistica tra $A$ e $B$ - esprimibile come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto $\mathbb {E} [AB]$ e il prodotto dei loro valori attesi $\mathbb {E} [A]\mathbb {E} [B]$ - viene in molti casi rappresentata mediante l'Indice di correlazione di Pearson $\rho _{AB}$:

$\mathrm {Cov} (A,B)\equiv \sigma _{AB}=\mathbb {E} [AB]-\mathbb {E} [A]\cdot \mathbb {E} [B]=\rho _{AB}\cdot \sigma _{A}\cdot \sigma _{B}$.

Si distinguono tre possibili casi di correlazione:

• Se $\ \rho _{AB}=0$, le variabili $A$ e $B$ si dicono incorrelate;
• Se $\ \rho _{AB}>0$, le variabili $A$ e $B$ si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
• Se $\ \rho _{AB}<0$, le variabili $A$ e $B$ si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

L'indeterminazione per energia e tempo

Il principio di indeterminazione, formulato per la coppia posizione-movimento, è anche applicabile alla coppia energia e tempo, fatto di notevole importanza e che, come tale, ha conseguenze molto rilevanti. Queste conseguenze possono essere chiarite meglio partendo da un esempio pratico. Per misurare l'energia di un fotone si può fare uso della formula di Planck:

$E=h\,\nu$

che manifesta la proporzionalità diretta tra l'energia E e la frequenza del fotone $\nu$. In pratica però, per misurare la frequenza si devono contare le oscillazioni in un intervallo di tempo determinato: per fare ciò bisogna che si verifichi almeno un'oscillazione completa. Ecco perché l'intervallo di tempo deve essere determinato: non si può infatti stabilire la frequenza di una radiazione in meno tempo di quello che la luce impiega per fare un'oscillazione completa. Perciò per le onde radio si impiega più tempo a stabilire la frequenza rispetto alla radiazione visibile, perché per compiere un'oscillazione le prime impiegano molto più tempo delle seconde.

Questa premessa sottolinea che c'è sempre un limite ineliminabile con cui si può conoscere la frequenza di un fotone o di qualunque altra particella: se infatti si misura solo parte dell'oscillazione, il valore della frequenza (e, per conseguenza, quello dell'energia) è indeterminato; perciò, una determinazione esatta del valore energetico della particella implica un campionamento piuttosto lungo dell'onda. Ma se in un esperimento interessa sapere quando avviene un evento, lo si deve fare a scapito della misura dell'energia, perché in simili situazioni non è più possibile misurare oscillazioni complete. Ecco che energia e tempo risultano essere non compatibili fra loro, perché una precisa misurazione dell'una rende imprecisa quella dell'altro e viceversa. Usando poi i formalismi matematici, il prodotto degli errori sulle misurazioni dell'energia e del tempo in alcuni casi ha proprietà analoghe a quelle del prodotto della coppia posizione-momento e risulta quindi essere:

$\Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}$

da cui deriva che

$\Delta E\geq {\frac {\hbar }{2\Delta t}}$

da cui si vede che l'indeterminazione sull'energia e sul tempo sono inversamente proporzionali. Bisogna sottolineare però questa relazione ha un significato diverso rispetto a quella che lega posizione e impulso. Intanto queste ultime sono variabili dinamiche misurabili in ogni istante; invece il tempo (almeno in meccanica quantistica non relativistica) è una variabile indipendente, quindi non è una grandezza osservabile in senso stretto. Per questo, anche se una particella non può avere simultaneamente posizione e impulso ben definiti, l'energia si può misurare con precisione arbitraria in ogni istante di tempo: $\Delta E$ è la differenza tra due valori esatti dell'energia misurati in due istanti diversi. A volte si dice che è possibile "prendere in prestito" un'energia $\Delta E$ purché sia "restituita" entro $\Delta t$, violando quindi la conservazione dell'energia per breve tempo. Questa però non è un'interpretazione legittima del principio: è più corretto dire che se la durata di uno stato (ad es. la vita media di una particella) è limitata, la sua energia è indefinita.

La conseguenza estrema di tutto questo è il fatto che il vuoto non sia poi così vuoto, ma in realtà ricco di fluttuazioni energetiche di brevissima durata, che provocano effetti come la schermatura della carica elettrica e il mascheramento di quella di colore. Infatti, nella elettrodinamica quantistica (QED), il vuoto è considerato come se fosse denso di coppie elettrone-positrone che si creano e si annichilano in un tempo così breve da non poter essere osservate e dette virtuali. Questa peculiarità del vuoto è ben visibile però, perché queste particelle, pur essendo virtuali, interagiscono con le particelle reali, schermandone la carica elettrica: se, per esempio, un elettrone venisse inserito in questo vuoto, la sua carica verrebbe parzialmente indebolita. Anche la cromodinamica quantistica (QCD), per spiegare il mascheramento della carica di colore dei quark all'interno del vuoto, ritiene quest'ultimo "popolato" da coppie quark-antiquark virtuali che si comportano esattamente come gli elettroni e positroni virtuali nella QED.

Un'altra conseguenza, che eviterebbe la violazione del principio di conservazione dell'energia, sarebbe la creazione di coppie di particelle in cui una delle due ha energia positiva e l'altra negativa, come è dimostrato dalle soluzioni negative che si possono ottenere nell'equazione di Dirac e come è suggerito da Stephen Hawking per spiegare come i buchi neri possano emettere particelle e perdere massa, teoria recentemente dimostrata vera dallo stesso fisico. Infatti proprio come il vuoto in QED e QCD, quello che circonda un buco nero ha le stesse proprietà. Il fatto che i buchi neri emettano particelle è pertanto spiegabile ipotizzando che le particelle non vengano emesse direttamente dal buco nero, ma dai suoi dintorni e in particolare da questo vuoto quantistico, ricco di fluttuazioni: la forte gravità del buco nero attrae anche queste particelle virtuali e a volte può capitare che solo una delle due cada nel buco; l'altra riuscirebbe a sfuggire e potrebbe essere osservata perché, avendo persa la sua compagna, si trasformerebbe in una particella reale. E delle due particelle create nel vuoto quella attratta dal buco nero è quella con energia negativa, possedendo una minore energia potenziale. Quello che ne risulta, è che la massa del buco nero è, seppur insensibilmente, diminuita.

Indeterminazione e stringhe

Il principio di Werner Heisenberg è fondamentale anche nella teoria delle stringhe, con la quale risulta essere perfettamente coerente, sebbene in maniera diversa rispetto alla meccanica quantistica. In particolare, l'indeterminazione è strettamente correlata con la tensione della stringa, attraverso un parametro fondamentale, e con la sua lunghezza. La novità sta nel fatto che, nella teoria delle stringhe, a un momento infinito non corrisponde, come dovrebbe essere tradizionalmente, una dimensione di lunghezza pari a zero. Questo perché la relazione tra momento e lunghezza è:

$\Delta L\sim {\frac {\hbar }{p}}+\alpha '{\frac {p}{\hbar }}$,

dove $\Delta L$ è la lunghezza di stringa, $p$ è il suo momento, $\hbar$ è la costante di Planck rinormalizzata e $\alpha '$ è un parametro, il quale svolge un ruolo primario nella teoria delle stringhe, in quanto l'uguaglianza

$T_{stringa}={\frac {1}{2\pi \alpha '}}$

esprime il suo legame con la tensione propria della stringa; in questo modo deve esistere una minima lunghezza di stringa osservabile, ovvero

$L_{\min }\sim 2{\sqrt {\alpha '}}$.

Perciò, tutti i problemi legati alla distanza pari a zero, così importanti nella teoria quantistica dei campi, per la teoria delle stringhe diventano irrilevanti. Infatti, se la teoria delle stringhe è una teoria quantistica della gravità, allora l'entità della scala di lunghezza deve essere almeno quella della scala di Planck, data dalla combinazione tra costante di gravitazione universale, velocità della luce e costante di Planck rinormalizzata:

$L_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G_{N}}{c^{3}}}}$.

Interpretazioni

Albert Einstein non era soddisfatto del principio di indeterminazione e sfidò Niels Bohr con il seguente famoso esperimento mentale:

"Riempiamo una scatola con del materiale radioattivo che emette radiazioni casuali. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e chiuso immediatamente, da un orologio, a un preciso istante, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. In questo modo il tempo è già noto con precisione. Vogliamo ancora misurare la variabile coniugata energia, con precisione. Non c'è problema dice Einstein: pesiamo la scatola prima e dopo. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola".

Bohr ribatté come segue, per di più applicando l'equivalenza massa-energia sviluppata proprio da Einstein: "Se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia. Questo cambia la posizione dell'orologio. Quindi l'orologio devia dal nostro sistema di riferimento stazionario, e quindi per la relatività speciale, la sua misurazione del tempo sarà diversa dalla nostra, portando a un inevitabile margine d'errore". Infatti, un'analisi dettagliata mostra che l'imprecisione è correttamente data dalla relazione di Heisenberg.

All'interno della diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione è inteso come il fatto che a un livello elementare, l'Universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come una collezione di probabilità, o potenziali. Ad esempio, il modello (distribuzione di probabilità) prodotto da milioni di fotoni che passano attraverso una fessura di diffrazione, può essere calcolato usando la meccanica quantistica, ma il percorso esatto di ogni fotone non può essere predetto da nessun metodo conosciuto. L'interpretazione di Copenaghen sostiene che non può essere predetto da nessun metodo. Ed è questa interpretazione che Einstein stava mettendo in discussione quando disse: "Non credo che Dio abbia scelto di giocare a dadi con l'universo". Bohr, che era uno degli autori dell'interpretazione di Copenaghen rispose: "Einstein, smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi". Più tardi Stephen Hawking aggiunse "Einstein sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei buchi neri suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere". Einstein era convinto che questa interpretazione fosse errata. Il suo ragionamento era che tutte le distribuzioni di probabilità precedentemente conosciute sorgessero da eventi deterministici.

La distribuzione di un lancio di moneta può essere descritta con una distribuzione di probabilità equiprobabile (50% testa e 50% croce). Ma questo non significa che i movimenti fisici siano impredicibili. La meccanica classica può essere usata per calcolare esattamente come ogni moneta atterrerà, se le forze agenti su di essa sono conosciute. E la distribuzione testa/croce si allineerà con la distribuzione di probabilità (date forze iniziali casuali). Einstein assunse che ci fossero delle variabili nascoste nella meccanica quantistica che sottostanno alle probabilità osservate. Né Einstein né altri sono mai riusciti a costruire una teoria della variabile nascosta soddisfacente, e la disuguaglianza di Bell illustra alcuni aspetti critici di questa ricerca. Anche se il comportamento di una particella individuale è casuale, è correlato al comportamento delle altre particelle. Quindi, se il principio di indeterminazione è il risultato di qualche processo deterministico, deve essere il caso che particelle poste a grande distanza trasmettano istantaneamente l'informazione a tutte le altre, per assicurare che ci sia una correlazione nel comportamento.

Portata epistemologica

Il principio ha forti implicazioni sulla filosofia della scienza e sul dibattito epistemologico del XX secolo sancendo l'impossibilità, da parte della scienza, di pervenire ad una conoscenza della realtà fisica completa o totale ovvero pienamente deterministica, aprendo definitivamente la strada all'incertezza o indeterminazione anche nelle scienze dure nella forma tipica espressa dai concetti probabilità e statistica, già emersi con la nascita e lo sviluppo della fisica statistica e lo studio dei fenomeni caotici. Il principio rappresenta dunque la fine della visione deterministica espressa da Laplace nel contesto della fisica classica e, assieme ad altri principi della meccanica quantistica, sancisce la nascita della fisica moderna.

Bibliografia

• AaVv, Filosofia della fisica, a cura G.Boniolo, Bruno Mondadori Milano 2000.
• W.O. Amrein e A.M. Berthier, On support properties of $L^{p}$-functions and their Fourier transforms, in J. Funct. Anal., vol. 24, 1977, pp. 258-267.
• J.D.Barrow, Impossibilità, Milano, Rizzoli 1998
• M. Benedicks, On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure, in J. Math. Anal. Appl., vol. 106, 1985, pp. 180–183, DOI:10.1016/0022-247X(85)90140-4.
• A. Bonami, B. Demange e Ph. Jaming, Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms., in Rev. Mat. Iberoamericana, vol. 19, 2003, pp. 23--55..
• Alberto Bertagna, Il controllo dell'indeterminato. Potemkin villages e altri nonluoghi, Quodlibet, Macerata 2010.
• D.Bohm, Causalità e caso, Napoli, CUEN 1997.
• N. Bohr, I quanti e la vita, Torino, Bollati Boringhieri 1999.
• M. Born, Filosofia naturale della causalità e del caso, Torino, Paolo Boringhieri 1962.
• G. Careri, Ordine e disordine nella materia, Roma-Bari, Laterza 1982
• Gerald Folland e Alladi Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey (PDF), in Journal of Fourier Analysis and Applications, vol. 3, n. 3, maggio 1997, pp. 207–238, DOI:10.1007/BF02649110, 98f:42006.
• R.Feynman, QED La strana teoria della luce e della materia, Milano, Adelphi 1989
• K.W.Ford, La fisica delle particelle, Milano, EST Mondadori 1980.
• K.W.Ford, Il mondo dei quanti, Torino, Bollati Boringhieri 2006
• H.Fritzsch, Quark. I mattoni del mondo, Torino, Paolo Boringhieri 1983
• M.Gell-Mann, Il quark e il giaguaro, Bollati-Boringhieri Torino 2000.
• G.H. Hardy, A theorem concerning Fourier transforms, in J. London Math. Soc., vol. 8, 1933, pp. 227–231, DOI:10.1112/jlms/s1-8.3.227.
• V. Havin e B. Jöricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, 1994.
• W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, in Zeitschrift für Physik, vol. 43, 1927, pp. 172–198, DOI:10.1007/BF01397280. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, 1983, pp. 62–84.
• W.Heisenberg, Oltre le frontiere della scienza, Roma, Editori Riuniti 1984
• W.Heisenberg, Indeterminazione e realtà, Napoli, Guida 1991
• L. Hörmander, A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs, in Ark. Mat., vol. 29, 1991, pp. 231--240.
• G. Kane, Il giardino delle particelle, Milano, Longanesi 1997
• L.M.Krauss, Il cuore oscuro dell'universo, Milano, Mondadori 1990
• Lachièze-Rey M., Oltre lo spazioe e il tempo, Bollati-Boringhieri Torino 2004.
• Laughlin R., Un univwero diverso, Codice Torino 2005.
• Ludovico Anna, Effetto Heisenberg. La rivoluzione scientifica che ha cambiato la storia, Roma: Armando ed., 2001, p. 224. ISBN 88-8358-182-2.
• Ph. Jaming, Nazarov's uncertainty principles in higher dimension, in J. Approx. Theory, vol. 149, 2007, pp. 30--41, DOI:10.1016/j.jat.2007.04.005.
• Leonid Mandelshtam e Igor Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics, in Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. Fiz.), vol. 9, 1945, pp. 122–128. English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249-254 (1945).
• F. Nazarov, Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type,, in St. Petersburg Math. J., vol. 5, 1994, pp. 663--717.
• L.Randall, Passaggi curvi, Milano, Il Saggiatore 2005
• (EN) A. Sitaram, Uncertainty principle, mathematical, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002..
• Q. Zheng e T. Kobayashi, Quantum Optics as a Relativistic Theory of Light, in Physics Essays, vol. 9, 1996, p. 447, DOI:10.4006/1.3029255. Annual Report, Department of Physics, School of Science, University of Tokyo (1992) 240.
• Smolin L., La vita del cosmo, Einaudi Torino 1998.
• G.‘t Hooft, Il mondo subatomico, Roma, Editori Riuniti 2000.
• Zeilinger A., Il velo di Einstein, Torino, Einaudi 2005.

Voci correlate

• Dualismo onda-particella
• Indeterminismo
• Interpretazione di Copenaghen
• Meccanica quantistica
• Modello standard
• Postulati della meccanica quantistica
• Teorie delle variabili nascoste

Collegamenti esterni

• (EN) Quantizzazione di un pendolo, su scienceweek.com.
• (EN) Il principio di indeterminazione, su daarb.narod.ru.
• La meccanica quantistica e il principio di indeterminazione, su meccanica-quantistica.webs.com.
• Template:Thesaurus BNCF
• Un inaspettato legame fra principio di indeterminazione e non-località, su lescienze.espresso.repubblica.it.