Indice di correlazione di Pearson

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Il coefficiente di correlazione (lineare) di Pearson (detto anche di Bravais-Pearson) tra due variabili aleatorie o due variabili statistiche X e Y è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:

$\ \rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$ .

dove

$\ \sigma_{xy}$ , è la covarianza tra X e Y

$\ \sigma_x , \sigma_y$ , sono le due deviazioni standard

Il coefficiente assume valori compresi tra -1 e +1.

Se:

$\ \rho_{xy} > 0$ , le variabili $x$ e $y$ si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;

$\ \rho_{xy} = 0$ , le variabili $x$ e $y$ si dicono incorrelate;

$\ \rho_{xy} < 0$ , le variabili $x$ e $y$ si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Nel caso di indipendenza il coefficiente assume valore zero, mentre non vale la conclusione opposta, ovvero dal coefficiente nullo non si può desumere l'indipendenza i.e. la condizione è necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza delle due variabili..

L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.

Valori prossimi a +1 (o -1) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. P.es. la seguente relazione quadratica ( $\ y_i = x_i^2$ )

X:	1	2	3	4
Y:	1	4	9	16

produce un coefficiente pari a 0,9844.

Valori positivi vengono misurati in presenza di correlazione lineare positiva (p.es.: y=a+bx, dove b>0), mentre valori negativi vengono misurati in presenza di correlazione lineare negativa (p.es.: y = a + b x, con b<0).

Gli indici di Pearson di n variabili, possono essere presentati in una matrice di correlazione. Si tratta di una tabella a doppia entrata, che è una matrice quadrata di dimensione [n,n] avente nelle righe e colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è diagonale poiché l'indice di correlazione di una variabile con sé stessa è unitario, ed è simmetrica. Infatti, vale che:

$\ \rho_{xx} = 1$ ,

e che

$\ \rho_{yx} = \rho_{{xy}}$ .

[modifica] Voci correlate

regressione lineare
correlazione
Karl Pearson
Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile.

Statistica