Indice di correlazione di Pearson

In teoria degli errori, l'indice di correlazione di Pearson, anche detto coefficiente di correlazione di Pearson (o di Bravais-Pearson) tra due variabili aleatorie è un coefficiente che esprime la linearità tra la loro covarianza e il prodotto delle rispettive deviazioni standard.

Gli indici di correlazione di Pearson si usano nell'analisi di correlazione di Pearson (Pearson correlation analysis in inglese).

Date due variabili statistiche X e Y, indice di correlazione di Pearson è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:

$\ \rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$.

dove

$\ \sigma_{xy}$ , è la covarianza tra X e Y

$\ \sigma_x , \sigma_y$ , sono le due deviazioni standard

Il coefficiente assume sempre valori compresi tra -1 e 1:

$\ -1 \leq \rho_{xy} \leq 1$.

Se:

• $\ \rho_{xy} > 0$, le variabili $x$ e $y$ si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;

  $\ \rho_{xy} = 0$, le variabili $x$ e $y$ si dicono incorrelate;

  $\ \rho_{xy} < 0$, le variabili $x$ e $y$ si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Per la correlazione diretta si distingue inoltre:

• $\ 0 < \rho_{xy} < 0,3$: correlazione debole;

  $\ 0,3 < \rho_{xy} < 0,7$: correlazione moderata;

  $\ \rho_{xy} > 0,7$: correlazione forte.

L'indice di correlazione vale 0 se le due variabili sono indipendenti. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, la scorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.

L'indice di correlazione vale + 1 in presenza di correlazione lineare positiva (y = a + b x, dove b>0), mentre vale -1 in presenza di correlazione lineare negativa (p.es.: y = a + b x, con b<0).

Valori prossimi a +1 (o -1) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica: $y = x^2$

X:	1	2	3	4
Y:	1	4	9	16

produce un coefficiente pari a 0,9844.

Gli indici di Pearson di n variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione $[n,n]$ avente nelle righe e colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica $(\rho_{ji} = \rho_{{ij}})$ e i coefficienti sulla diagonale valgono 1, in quanto

$\ \rho_{ii} = \frac{\sigma_{ii}}{\sigma_i^2}$

Voci correlate

• Regressione lineare
• Correlazione
• Karl Pearson
• Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile.

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