Serie di funzioni

In analisi matematica, una serie di funzioni è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di funzioni e giungere ad alcuni importanti risultati di convergenza, per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.

Una serie di funzioni, analogamente alle serie numeriche, è definita come una particolare successione associata ad un'altra successione.

Tale successione è una successione di funzioni $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, cioè ogni elemento della successione è una funzione $f_{n}(x):D\longrightarrow \mathbb {R}$, e la serie associata è definita dalla legge $\{s_{n}(x)=f_{0}+...+f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ e si indica anche con $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$.

Nel definire le serie di funzioni, e nell'enunciarne molti teoremi e proprietà, non è affatto necessario presupporre su D alcuna struttura. Dove sia richiesto, l'insieme D potrà essere uno spazio topologico, metrico, etc. o un certo sottoinsieme di $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {R} ^{n}$ o $\mathbb {C} ^{n}$.

In analogia con le serie numeriche, i termini $f_{n}$ e $s_{n}$ vengono detti rispettivamente termine generale e somma parziale della serie.

Convergenza di una serie di funzioni

• Una serie $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ converge puntualmente ad una funzione $f$ in $A$ se la serie numerica $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x_{0})$ converge a $f(x_{0})$ per ogni $x_{0}$ in $A$. L'insieme $A$ viene detto dominio di convergenza della serie.

• Una serie $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ converge uniformemente ad una funzione $f$ in $A$ se converge uniformemente la successione delle somme parziali $\{s_{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }$

• Una serie $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ converge totalmente ad una funzione $f$ in $A$ se valgono le seguenti condizioni equivalenti:

• $\exists \{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} _{+}:\sum M_{n}<\infty ,|f_{n}(x)|\leq M_{n}\forall x\in A,n\in \mathbb {N}$
• $\sum \sup _{x\in A}|f_{n}(x)|<\infty$

Queste condizioni esprimono, in sostanza, l'esistenza di una serie a termini positivi convergente che "domini" la serie in questione, analogamente con il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Teoremi

Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.

Se una serie converge uniformemente, allora $\lim _{n\to \infty }{\sup _{x\in A}|f_{n}(x)-f(x)|=0}$, dove $f(x)$ è il limite puntuale di $f_{n}(x)$.

Se una serie converge uniformemente in $[a,b]$, allora $\sum _{n}\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}\sum _{n}{f_{n}(x)}dx$

Se è $f_{n}$ ≥ 0, $f_{n}$ continua per ogni $n$ e la serie converge in $[a,b]$ a una funzione continua, allora la convergenza è uniforme.

Esempi

Gli esempi di serie di funzioni sono molteplici nell'analisi. Si segnalano in particolare:

• Serie di potenze - serie in cui il termine generale è del tipo $a_{n}\,(x-c)^{n}$, dove $a_{n}$ è un coefficiente variabile. Ha applicazioni anche nella combinatoria e nell'ingegneria elettrica.
• Serie di Taylor - caso particolare di una serie di potenze, in cui i coefficienti $a_{n}$ sono rappresentati dalle derivate successive della funzione nel punto $c$, a meno di un termine fattoriale al denominatore. Sono usatissime, specie in una forma "troncata" all'$n$-esimo termine, per approssimare la funzione in esame nel punto $c$. Una funzione sviluppabile in serie di Taylor in ogni suo punto è detta analitica. Sono dette anche serie di Taylor-MacLaurin se il punto iniziale è lo zero.
• Serie di Fourier - serie che approssimano il comportamento di funzioni periodiche mediante somme infinite di seni e coseni. Si applicano per esempio nell'acustica, nell'ottica e nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali.

Voci correlate

• Serie
• Successione di funzioni