Teorema del confronto

Grafico della funzione $x^{2}\sin \left(x^{-1}\right)$, che illustra il teorema

Il teorema dei carabinieri è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni $a,c$ che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione $b$): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di $a$ e $c$). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.

Successioni

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ e $\{c_{n}\}$ sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per $n$ sufficientemente grande)

$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$

e se si ha

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l,$

allora anche

$\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l.$

Dimostrazione

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni $\varepsilon >0$ esistono $N,N'$ tali che:

$l-\varepsilon <a_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N,$

$l-\varepsilon <c_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N'.$

Quindi per ogni $n$ maggiore di $M=\max\{N,N'\}$ si ottiene:

$l-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<l+\varepsilon .$

Quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $M$ tale che:

$l-\varepsilon <b_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>M.$

In altre parole, la successione $b_{n}$ tende a $l$.

Esempi

La successione:

$b_{n}={\sin n\cos n \over n^{2}}$

è "stretta" fra le successioni:

$a_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}},\qquad \ c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

poiché

$-1\leq \sin n\cos n\leq 1$

implica

$-{\frac {1}{n^{2}}}\leq {\sin n\cos n \over n^{2}}\leq {\frac {1}{n^{2}}},$

per ogni $n$. Entrambe $a_{n}$ e $c_{n}$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche $b_{n}$ è infinitesima.

Corollario

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ sono due successioni tali che:

$a_{n}\leq b_{n}$

per ogni $n$, e se

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty ,$

allora anche

$\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .$

Oppure se

$a_{n}\leq b_{n},$

per ogni $n$, e se

$\lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty ,$

allora anche

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}=-\infty .$

Dimostrazione Corollario

Per ipotesi $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty$ e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni $M>0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n>N$.

Dato che $b_{n}\geq a_{n}$ per ogni $n$ si ottiene che:

$b_{n}\geq a_{n}>M.$

Quindi:

$\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .$

Funzioni

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni $f,g,h\colon X\to \mathbb {R}$ definite su un dominio $X$ di $\mathbb {R}$, e dato un punto di accumulazione $x_{0}$ per $X$, se:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l$

ed esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che

$f(x)\leq g(x)\leq h(x),\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\},$

allora

$\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l.$

Dimostrazione

Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon >0$ esistono due intorni $U_{1}$ e $U_{2}$ di $x_{0}$ tali che:

$l-\varepsilon <f(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{1}\setminus \{x_{0}\},$

$l-\varepsilon <h(x)<l+\varepsilon \quad \forall x\in U_{2}\setminus \{x_{0}\}.$

Quindi

$l-\varepsilon <f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.$

Quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno $U_{1}\cap U_{2}\cap U$ tale che

$l-\varepsilon <g(x)<l+\varepsilon ,\quad \forall x\in U_{1}\cap U_{2}\cap U\setminus \{x_{0}\}.$

In altre parole:

$\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l.$

Esempio

Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\pi /2$ la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.

Allora

${\overline {PH}}=\sin x,\qquad {\overline {QA}}=\tan x$

Ne segue che

$\sin x<x<\tan x,$

da cui, dividendo per $\sin x$

$1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}$

prendendo i reciproci

$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$

sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x$ e che

$\lim _{x\to 0}\cos x=1,$

sfruttando il teorema del confronto si ottiene:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$

Bibliografia

• G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0.
• (EN) Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Limite di una successione
• Limite di una funzione
• Punto di accumulazione
• Successione (matematica)

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• carabinieri, teorema dei, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del confronto, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.