Criteri di convergenza

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In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordi[modifica | modifica wikitesto]

Primo criterio del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo due serie a termini non negativi e tali che :

  • se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
  • se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Data la successione di somme parziali di , dove è monotona crescente: .

Idem con successione di somme parziali di : .

Abbiamo che: , dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore .

Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico[modifica | modifica wikitesto]

Date due serie a termini positivi e

se è convergente e , dove esiste ed è finito, allora è convergente;

se è divergente e (anche ), allora è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato che , per definizione di limite di successione abbiamo che:

se prendo , allora ho: , che si può riscrivere: .

Dunque poiché converge anche e convergono, di conseguenza anche converge.

Analogamente per divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto[modifica | modifica wikitesto]

Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini . Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una serie a termini non negativi per la quale esista il limite .

Il carattere della serie risulta:

  • convergente se
  • divergente se
  • non si può stabilire il carattere della serie se
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Basta osservare che se allora possiamo fissare un fra e 1 tale che per tutti gli maggiori di un certo abbastanza grande i termini della successione siano minori di :

Elevando per si ottiene dunque:

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie e la serie geometrica si ha che la serie converge.

Se allora esiste tale che per ogni si ha da cui . Dato che non tende a 0 la serie

diverge.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Stabiliamo il carattere della serie:

.

Applicando il criterio della radice abbiamo:

.

Ma

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

Quindi se la serie converge, mentre se la serie diverge.

Per la serie diviene la serie armonica generalizzata con che diverge se e converge se .

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una serie a termini positivi tale che esista il limite , allora la serie:

  • converge se
  • diverge se
  • non stabilisce il comportamento della serie se
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Caso (I): Se allora possiamo fissare un numero fra e tale che per tutti gli maggiori di un certo abbastanza grande il rapporto fra due termini successivi sia minore di , cioè:

da cui:

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli maggiori di , partendo da un generico termine possiamo procedere a ritroso fino a :

sicché la successione risulta minore della successione delle potenze di a meno di una costante moltiplicativa. Dunque, per il criterio del confronto, la serie data converge.

Caso (II): Se allora possiamo fissare un numero fra e tale che:

Poiché : allora

, cioè:
.

Quindi:

...

Quindi diverge, utilizzando il criterio del confronto rispetto alla serie , una serie geometrica con ragione maggiore di e quindi divergente.

Di conseguenza, andando a ritroso, anche la serie è divergente.

Stima del resto[modifica | modifica wikitesto]

Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo -esimo termine:

Supponiamo infatti di avere una serie tale che da un certo in poi i termini siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento tale che a meno di una costante moltiplicativa :

Allora non solo la serie converge, ma si ha anche:

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante e un certo intero abbastanza grande tale che:

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa , ottenendo:

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto -esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'-esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Criterio di Raabe[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una serie a termini positivi, per la quale esiste il limite  ;

se la serie converge, mentre se la serie diverge; se il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo la divergenza

Dato che per definizione di limite di successioni avremo:

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:

questo vale per .

da questa posso scrivere:

dove:

Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante.

Inoltre per il Criterio del Confronto risulta che

C.V.D.

Criterio di condensazione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di condensazione di Cauchy.

Se è una successione positiva non crescente, la serie

converge se e solo se converge la serie

Serie a termini discordi[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di convergenza assoluta[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie , si dice che essa è assolutamente convergente se converge.

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie.

Consideriamo ; per ipotesi, essa converge. Allora
(deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)

(la serie dei moduli non è mai negativa)

(minorazione tramite la diseguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

.

C.V.D.

Criterio di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto.
La serie è dunque a termini di segno alterno, infatti:

  • per n pari il termine è positivo;
  • per n dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie di termini a segno alterno , se la successione è definitivamente positiva, decrescente e tende a , cioè:

allora si ha che:

  • la serie è convergente ad
  • Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad
  • , il resto n-esimo è minore al termine

Criterio di Dirichlet[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano e due successioni. Se tende monotonamente a , e se la serie dei è limitata, cioè se

,

allora la serie è convergente. In particolare, ponendo si ottiene il criterio di Leibniz.

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