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Criterio di Dirichlet (matematica)

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Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di numeri complessi e una successione di numeri reali:

  • per ogni intero positivo N

dove M è indipendente dalla scelta di N.

Allora[1]

converge in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia , e sia tale che . Allora, fissato un esiste un intero tale che . Per ogni si ha allora, per parti[1]:

.

Per il criterio di Cauchy, quindi, la serie è convergente, Q.E.D.

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del Criterio di Leibniz, dove la successione è la successione [2].

Convergenza di una serie di potenze[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Raggio di convergenza.

Sia una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia una successione non crescente e infinitesima per . Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio tranne al più in [2].

Sia infatti ; si ha, per :

,

quindi la serie converge per il criterio di Dirichlet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Rudin, pagg. 70-71.
  2. ^ a b Rudin, pag. 71

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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