Sommazione per parti

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In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

Enunciato del lemma[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due successioni, e sia

la somma parziale -esima di , e si ponga . Vale allora l'eguaglianza[1]:

.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti :

,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo , e l'altra in .

Per la definizione di , si ha[1]:

,

cioè la tesi, Q.E.D.

Teoremi derivati[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Dirichlet per le serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie[2].

Criterio di Leibniz per le serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Rudin, pag. 70
  2. ^ Rudin, pag.71

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]