Utente:Djdomix/Integrazione per sostituzione

Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, utilizzando in particolare le tavole di integrali; si ricordi che non tutti gli integrali sono risolvibili.

Forma logaritmica

Se un integrale si presenta nella seguente forma:

$\int {\frac {\Phi (x)^{'}}{\Phi (x)}}dx$

ovvero il numeratore è la derivata del denominatore allora esso sarà uguale a $log\left|\Phi (x)\right|+c$.

Integrazione di funzioni razionali

Gli integrali che rientrano nella forma:

$\int {{a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x^{1}} \over {b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x^{1}}}\,dx\,n,m\in \mathbb {N}$

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metologie per la risoluzione di tali integrali.

La prima cosa da analizzare sono il grano del numeratore e il grado del denominatore.

Grado numeratore maggiore del Grado denominatore

Nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore del grado del denominatore si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x):

${f(x)=g(x)Q(x)+R(x)}$

dalla quale ricaviamo

${f(x) \over g(x)}=Q(X)+{R(x) \over g(x)}$

con R(x) polinomio di grado inferiore al grado n del divisore g(x). Perciò possiamo scrivere:

$\int {f(x) \over g(x)}\,dx=\int Q(x)\,dx+\int {R(x) \over g(x)}\,dx$

Il calcolo di una funzione razionale con numeratore di grado maggiore a quello del denominatore si può sempre ricondurre al calcolo integrale di un polinomio e di una funzione razionale con numeratore di grado inferiore al denominatore.

Grado numeratore minore del Grado denominatore

Calcolo di:

$\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\,dx$

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante $\delta =b_{1}^{2}-4b_{0}$:

• $\delta \,>\,0\to x^{2}+b1_{x}+b_{0}=0$ ammette due radici reali distinte x₁ e x₂ dunque $x^{2}+b1_{x}+b_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})$.

Esistono dunque costanti reali $A,B\in \mathbb {R}$ tali che:

${{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}={{a_{1}x+a_{0}} \over {(x-x_{1})(x-x_{2})}}={{A} \over {x-x_{1}}}+{{B} \over {x-x_{2}}}\,\forall x\in \mathbb {R} -\,{\,x_{1},x_{2}\,}\,$

A,B si determinano in base alla condizione:

$A(x-x_{2})+B(x-x_{1})=a_{1}x+a_{0}\ \forall x$

Questa è equivalente alla:

${\begin{Bmatrix}A+B=a_{1}\\-Ax_{2}-Bx_{1}=a_{0}\end{Bmatrix}}$

che ammette un'unica soluzione (A,B). Poichè il determinate della matrice dei coefficineti:

$\det(-x1\ x2)=-x1+x2\not =0$

Determinate A,B (risolvendo il sistema), si calcola:

$\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}dx=\int {{A} \over {x-x_{1}}}dx+$$\int {{B} \over {x-x_{2}}}dx=A\log |x-x_{1}|+B\log |x-x_{2}|+C$

• $\delta =0\ x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ ammette due radici reale coincidenti $x_{1}=x_{2}=x_{0}$ dunque $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{0})^{2}$

Esistono due costanti reali $A,B\in \mathbb {R}$ tali che:

${{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\equiv {{a_{1}x+a_{0}} \over {(x-x_{0})^{2}}}={{A} \over {x-x_{0}}}+{{B} \over {x-x_{0}}}\ \forall x\in \mathbb {R} -\,{\,x_{0}\,}\,$

A,B si determinano in bae alla condizione $a_{1}x+a_{0}=A(x-x_{0})+B\ \forall x\in \mathbb {R}$

questa è equivalente:

${\begin{Bmatrix}A=a_{1}\\-x_{0}A+B=A_{0}\end{Bmatrix}}$

che ammette un'unica soluzione (A,B). $\forall (a_{0},a_{1})\in \mathbb {R} ^{2}$ poichè il determinate della matrice dei coefficienti è :

$\det {\begin{Bmatrix}1&0\\-x_{0}&1\end{Bmatrix}}=1$

Determinate A,B si calcola:

$\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}dx=\int {{A} \over {x-x_{0}}}dx+$$\int {{B} \over {(x-x_{0})^{2}}}dx=A\log |x-x_{0}|-B\log |x-x_{0}|+C$

• $\delta \,<\,0\ x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ non ammette radici reali. E' sempre possibile determinare A,B tali che: $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-a)^{2}+b^{2}\ \forall x\in \mathbb {R}$.

L'uguaglianza precedente è equivalente a:

${\begin{Bmatrix}2A=B_{1}&\to A={B_{1} \over 2}\\A^{2}+B^{2}=B_{0}&\to B^{2}=B_{0}-({B_{1} \over 2})^{2}=-{\delta \over 4}\,>\,0\end{Bmatrix}}$

Il calcolo dell'integrale:

$\int {{1} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}dx=\int {{1} \over {(x+a)^{2}+b^{2}}}dx$

Si esegue nel seguente modo:

$\int {{1} \over {(x+a)^{2}+b^{2}}}dx={{1} \over {b^{2}}}\int {{1} \over {({{x+a} \over {b}})^{2}+1}}dx={{1} \over {b^{2}}}b\arctan {{x+a} \over {b}}+C$

Integrazione per parti

Se f e g sono derivabili in $[a,b]$ si ha

$(fg)^{'}=f^{'}g+fg^{'}$

ossia

$fg^{'}=(fg)^{'}+f^{'}g$.

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che $\int {(fg)^{'}}\,dx=fg$ si trova la formula di integrazione per parti:

$\int f(x)g^{'}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{'}(x)g(x)dx$

Dimostrazione

Osserviamo per prima cosa che gli integrali esistono per la continuità delle funzioni f e g prese in esame. La funzione f(x)g(x) è derivabile e la sua derivata è f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Prendendo l'integrale indefinito dell'uguaglianza precedente si ottiene:

$\int D(f(x)g(x))dx=\int f^{'}(x)g(x)dx+\int g^{'}(x)f(x)dx$

Ricordando che a meno di una costante additiva si ha

$\int D(fg)(x)dx=fg(x)$

da cui si ottiene la regola di integrazione per parti

Integrazione per scomposizione

L'intregrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare $\int f(x)dx$ è talvolta più semplice scrivere $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{n}(x)$ e sfruttare l'uguaglianza:

$\int f(x)dx=\int f_{1}(x)+\int f_{2}(x)+...+\int f_{n}(x)$

Integrazione per sostituzione

Nel calcolo infinitesimale la regola di sostituzione costituisce un importante strumento per la determinazione di integrali indefiniti e di integrali definiti. Essa è equivalente alla regola di derivazione della composizione di funzioni.

Supponiamo che f(x) sia una funzione integrabile, e φ(t) una funzione differenziabile con continuità definita sull'intervallo [a, b] e la cui immagine è contenuta nel dominio di f. Allora

$\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}dx\,f(x)=\int _{a}^{b}dt\,f(\phi (t))\phi '(t)$

Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazione x = φ(t) comporta dx/dt = φ'(t) e quindi la conseguenza formale dx = φ'(t) dt, che è precisamente la sostituzione richiesta per dx. In effetti la regola di sostituzione può considerarsi come un ottimo sostegno della bontà del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate.

La formula è usata per trasformare l'integrale di una funzione nell'integrale di un'altra nella prospettiva che questo nuovo sia più facile da determinare. La formula può essere utilizzata al fine di semplificare un integrale dato, sia "da sinistra verso destra" che "da destra verso sinistra".

Esempi

Consideriamo l' integrale

$\int _{0}^{2}dt\,t\cos(t^{2}+1)$

Usando la sostituzione x = t² + 1, otteniamo dx = 2t dt e quindi

$\int _{0}^{2}tdt\,\cos(t^{2}+1)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}dt\,\cos(t^{2}+1)2t={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}dx\,\cos(x)={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).$

Qui usiamo la regola di sostituzione "da destra a sinistra". Si noti come il limite inferiore t = 0 viene trasformato in x = 0² + 1 = 1 e il limite superiore t = 2 in x = 2² + 1 = 5.

Per l'integrale

$\int _{0}^{1}dx\,{\sqrt {1-x^{2}}}$

occorre usare la formula da sinistra a destra: serve la sostituzione x = sin(t), dx = cos(t) dt, in quanto √(1-sin²(t)) = cos(t):

$\int _{0}^{1}dx\,{\sqrt {1-x^{2}}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dt\,{\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}\cos(t)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dt\,\cos ^{2}(t)\;dt$

L'integrale risultante può essere calcolato effettuando una integrazione per parti.

Integrali indefiniti

La regola di sostituzione può essere usata anche per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglie una relazione tra x e t, che determina la relazione corrispondente tra i differenziali dx e dt e consente la sostituzione. Se si riesce a determinare il nuovo integrale indefinito, occorre successivamente effettuare la sostituzione opposta.

Similmente al nostro primo esempio precedente, applichiamo il metodo per determinare il seguente integrale indefinito:

$\int tdt\,\cos(t^{2}+1)={\frac {1}{2}}\int dt\,\cos(t^{2}+1)2t$

$\qquad ={\frac {1}{2}}dx\,\int \cos(x)={\frac {1}{2}}\sin(x)+C={\frac {1}{2}}\sin(t^{2}+1)+C.$

Si noti che sono stati sottoposti a trasformazione integrali indefiniti e che nell'ultimo passo abbiamo invertito la sostituzione originale x = t² + 1.

Regola di sostituzione per variabili multiple

Si può anche usare la sostituzione quando si integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione sostituzione (v₁,...,v_n) = φ(u₁,...,u_n) deve essere uno a uno e differenziabile con continuità, e i differenziali si trasformano secondo la formula

$dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(\operatorname {D} \phi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n}$

dove det(Dφ) denota il determinante della matrice jacobiana che contiene le derivate parziali di φ. Questa formula esprime il fatto che il valore assoluto del determinante dei vettori dati uguaglia il volume del parallelepipedo formato.

Più precisamente, la formula del cambiamento di variabili è precisata nel seguente enunciato.

Teorema Siano U, V insiemi aperti in Rⁿ e φ : U → V una funzione differenziabile biiettiva con derivate parziali continue. Allora per ogni funzione con valori reali f su V integrabile

$\int _{V}d\mathbf {v} \,f(\mathbf {v} )=\int _{U}d\mathbf {u} \,f(\phi (\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} \phi )(\mathbf {u} )\right|$

Voci correlate

• Integrale
• Integrale multiplo
• Regole di derivazione

invertibilità

io avrei scritto due righe anche sull'invertibilità della funzione utilizzata per la sostituzione, anche se come passaggio è spesso omesso nelle risoluzioni degli esercizi..