In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.
Sia
una funzione in due variabili, definita su un aperto
del piano
. Se
ammette derivate seconde miste continue, ad esempio se
, allora queste coincidono in ogni punto
, ovvero:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617971b5891bf5bd3b24bda31539b03465846991)
In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.
Come conseguenza, se una funzione
ha derivate seconde miste continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.
Sia
. Si scelgono due reali
,
tali che
. Ciò è possibile, poiché
è un aperto di
.
Si definiscono due funzioni
e
come segue:
![{\displaystyle F\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26717edbefc42159839b1ce179c23444787a624e)
![{\displaystyle G\colon (-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26b74357893249d235e2f0b57d75c7c02fb102e)
in modo che:
![{\displaystyle F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7699201d2c2845d9a614eeab05282dca3c6fd66)
![{\displaystyle G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0ff127a98a1a04c84e50ec5f43eaf5792afd5c)
Si prova facilmente che, fissati
e
nei rispettivi intervalli:
![{\displaystyle F(t)-F(0)=G(s)-G(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4bdf8e46b2e985a1385d66d65167fa1067b77c)
Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:
![{\displaystyle F(t)-F(0)=tF'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3d481b2a3a3c9c157e0bcbc0a09d33a52cfed1)
e analogamente:
![{\displaystyle G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9e6d2836c979bcf500048ffa98d9651e5bedbf)
con
e
, dove per comodità di scrittura si sono assunti
.
Facendo tendere
e
a
(e quindi anche
e
), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha
, cioè la tesi.
Sia:
![{\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6a1bdbdc6f67d243515a7cec94fc8d06968798)
Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :
![{\displaystyle f_{x}=2xy^{2}+y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c98888029729959ddf075b0015b3d825779a74)
![{\displaystyle f_{y}=2yx^{2}+3xy^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bd9beb6c08ce97666876dd56d1448c414f4986)
queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:
![{\displaystyle f_{xy}=4xy+3y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7324812de9fc40b90094fbdfb225d7a2a84bf733)
![{\displaystyle f_{yx}=4xy+3y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b29056e94fab72667b54aa57df68ed47e53280)
Quindi
.
L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:
![{\displaystyle f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666744cf208082685656f579205b0bd4b1991a99)
Si hanno derivate parziali prime continue:
![{\displaystyle f_{x}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}y{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+xy{\frac {2x(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dd378f5acf878a7e9a3d37a2c81c9f8d5dd435)
![{\displaystyle f_{y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}-x{\frac {y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}-xy{\frac {2y(x^{2}+y^{2})-2y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \ (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0032ca1ae76c300d53129da1797880b23f267173)
Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:
![{\displaystyle f_{xy}(0,0)=\lim _{k\to 0}{\frac {f_{x}(0,k)-f_{x}(0,0)}{k}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e412e793f3dbd432cdb56c5f832e32427fd3fd)
![{\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f_{y}(h,0)-f_{y}(0,0)}{h}}=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c9612c92708f47b6b7c1651a3743046513245f)
Dunque
.
- ^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms (5th ed.), p. 732–733.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.
- (EN) H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (PDF), World Scientific, 2008, ISBN 978-981-279-170-2.