Equazione di Laplace

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In matematica, l'equazione di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è l'equazione omogenea associata all'equazione di Poisson, e pertanto appartiene alle equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche: le sue proprietà sono state studiate per la prima volta da Laplace. L'equazione riveste particolare importanza nei settori dell'elettromagnetismo, dell'astronomia, della fluidodinamica, e le sue soluzioni differenziabili fino al secondo ordine costituiscono la classe delle funzioni armoniche,[1] che sono funzioni analitiche.

L'equazione impone che l'operatore di Laplace di una funzione incognita sia nullo. Tale relazione riveste particolare importanza in fisica:[2]

La soluzione dell'equazione di Laplace nel caso bidimensionale è un problema che viene spesso affrontato utilizzando l'analisi complessa, in particolare tramite mappe conformi, mentre nel caso tridimensionale si può invece utilizzare il metodo di separazione delle variabili.

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione definita su un insieme di a valori in . Sia la funzione di classe C2, cioè derivabile fino al secondo ordine con continuità.

L'equazione di Laplace per ha la forma:[1]

dove è l'operatore di Laplace o laplaciano, che nello spazio euclideo tridimensionale può avere diverse espressioni, ad esempio la forma: cartesiana, cilindrica e sferica.

L'equazione si trova scritta in modo ormai obsoleto anche scomponendo il laplaciano:

dove è l'operatore divergenza e è l'operatore gradiente.

Soluzione fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Una strategia utilizzata nella soluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari consiste nel trovare inizialmente soluzioni semplici, ed a partire da esse costruire una soluzione complessa che sia combinazione lineare di soluzioni semplici.[2]

Dal momento che l'equazione di Laplace è invariante sotto rotazione, si cercano soluzioni di tipo radiale, dipendenti solamente dalla variabile:

Si consideri la funzione:

con tale che l'equazione di Laplace per continui a valere.

Poiché:

si ottiene:

per ogni e per ogni non nullo.

Si ha quindi:

Se è diverso da zero si ha:

e quindi:

con costante. Di conseguenza, per positivo:

con e costanti.

Con un'opportuna scelta delle costanti si definisce la soluzione dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:[4]

dove denota il volume della bolla di raggio unitario in .

Condizioni al contorno[modifica | modifica wikitesto]

Condizioni al contorno di Dirichlet[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Condizioni al contorno di Dirichlet.

Il problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace consiste nel trovare una soluzione φ definita in un dominio e tale che sul bordo di coincida con una funzione assegnata. La relazione tra l'equazione di Laplace e quella del calore può essere data dalla seguente interpretazione fisica del problema di Dirichlet: supponendo che la funzione assegnata sia una temperatura costante nel tempo associata ad ogni punto del bordo di un corpo omogeneo e isotropo, i valori della temperatura all'interno del corpo quando si raggiunge l'equilibrio termico rappresentano la soluzione del problema di Dirichlet.

Condizioni al contorno di Neumann[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Condizioni al contorno di Neumann.

Il problema di Neumann per le equazioni di Laplace è simile al problema di Dirichlet, ma in esso la funzione assegnata non coincide con il valore di φ sul bordo di , ma con la sua derivata normale. La più ovvia interpretazione fisica (e quella dalla quale il problema è stato motivato) corrisponde alla costruzione di un potenziale su un campo vettore conoscendo le variazioni del campo sul bordo.

Funzione di Green per l'equazione in tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di Green.

Si consideri un sistema descritto dall'equazione di Poisson:

dove è il laplaciano in , la sorgente e la soluzione della PDE. Poiché il laplaciano è un operatore differenziale lineare, la soluzione può essere scritta come un integrale esteso alla distribuzione sorgente :

dove la funzione di Green è la distribuzione che consente di ottenere la risposta del sistema in ad una sorgente puntiforme, descritta attraverso la delta di Dirac , posta in :

La funzione di Green per l'equazione di Laplace in tre dimensioni è uno strumento spesso utilizzato in fisica, ad esempio nella descrizione dell'interazione di un corpo carico con il campo elettromagnetico generato da una sorgente puntiforme . In tale contesto, il campo elettrico è dato dal gradiente del potenziale elettrico :

e utilizzando l'equazione di Maxwell:

si ha l'equazione di Poisson:

Si può allora trovare la soluzione per una distribuzione arbitraria considerando una carica puntiforme in :

La funzione di Green in tre dimensioni spaziali per l'equazione di Laplace (in tre variabili) è data in funzione della distanza reciproca tra due punti:[5]

dove sono le coordinate cartesiane standard. L'espressione algebrica della funzione di Green in tale sistema di coordinate è:

Esistono diversi modi per sviluppare tale relazione. Uno di essi è l'espansione di Laplace, data per l'equazione di Laplace in tre variabili in termini della funzione generatrice per i polinomi di Legendre:

dove si sono utilizzate le coordinate sferiche e è l'angolo tra due vettori arbitrari dato da:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Evans, Pag. 20
  2. ^ a b Evans, Pag. 21
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 108
  4. ^ Evans, Pag. 22
  5. ^ Jackson, Pag. 38

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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