Principio del massimo

In matematica, il principio del massimo è una proprietà che caratterizza la soluzione di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche o paraboliche. Stabilisce che il massimo di una funzione in una regione è assunto sul bordo della regione. Nello specifico, il principio del massimo "in forma forte" afferma che se una funzione raggiunge il massimo all'interno della regione allora la funzione è una funzione costante, mentre la versione "in forma debole" afferma che il massimo viene raggiunto sul bordo ed eventualmente ri-raggiunto all'interno.

In ottimizzazione convessa, il principio del massimo stabilisce che il massimo di una funzione convessa su un insieme convesso compatto è raggiunto sulla frontiera.

Le funzioni armoniche sono un tipico esempio in cui si applica il principio del massimo. Detta $f$ una funzione armonica definita su un insieme aperto connesso $D\subset \mathbb {R} ^{n}$, se $x_{0}\in D$ e:

$f(x_{0})\geq f(x)$

per tutti gli $x$ in un intorno di $x_{0}$, allora $f$ è costante su $D$.

Bibliografia

• (EN) Carlos A. Berenstein e Roger Gay, Complex Variables: An Introduction, Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1997, ISBN 0-387-97349-4.
• (EN) Luis A. Caffarelli e Xavier Cabre, Fully Nonlinear Elliptic Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1995, pp. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5.
• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
• (EN) R. T. Rockafellar, Convex analysis, Princeton, Princeton University Press, 1970.
• (EN) D. Gilbarg e Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York, Springer, 1983, ISBN 3-540-41160-7.

Voci correlate

• Funzione armonica
• Teoria del potenziale
• Lemma di Hopf
• Principio del massimo di Hopf

Collegamenti esterni

• Alberto Ferrero - Principi di massimo (PDF), su people.unipmn.it. URL consultato il 18 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 18 ottobre 2014).