Formula di Cauchy per integrazioni ripetute

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In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.

Sia f una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto[1]

f^{[n]}(x) = \int_{0}^x\int_0^{\sigma_1}\cdots\int_0^{\sigma_{n-1}}f(\sigma_{n})d\sigma_{n}\cdots d\sigma_2 d\sigma_1

è dato dal singolo integrale

f^{[n]}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x\left(x-y\right)^{n-1}f(y)dy.

La dimostrazione si porta avanti per induzione; essendo la funzione continua, il caso base è semplicemente

\frac{d}{dx}f^{[1]}(x) = \frac{d}{dx}\int_0^xf(y)dy = f(x)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Si noti che non si sta compiendo l'operazione \int_0^x \frac{d^n}{dt^n}f(t)dt, né l'operazione \left( \int_0^x f(t)dt\right)^n.
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