Formula di Cauchy per integrazioni ripetute

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In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto[1]

è dato dal singolo integrale

.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:

;

dove

.

Ora, supposto questo vero per , non resta che provarlo per . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che

.

Allora, applicando l'ipotesi induttiva,

e questo completa la dimostrazione.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare come (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Si noti che non si sta compiendo l'operazione , né l'operazione .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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