Differintegrale

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Nell'analisi frazionaria, un'area della matematica applicata, il differintegrale è un operatore formato dalla combinazione di derivata e integrale. Applicato ad una funzione , il q-differintegrale di , indicato come

è la derivata frazionaria (se q > 0) o l'integrale frazionario (se q < 0). Se q = 0, allora il q-differintegrale di una funzione è la funzione stessa. Nel contesto della derivata e integrale frazionari, ci sono numerose definizioni del differintegrale.

Definizioni standard[modifica | modifica wikitesto]

Le tre forme più comuni sono:

  • Il differintegrale di Riemann–Liouville
Questo è il più semplice e facile da usare, e di conseguenza è spesso il più usato. È una generalizzazione della formula di Cauchy per integrazioni ripetute ad un ordine arbitrario.
  • Il differintegrale di Grunwald–Letnikov
Questo differintegrale è la diretta generalizzazione della definizione di derivata. È molto più difficile da usare del differintegrale di Riemann–Liouville, ma qualche volta viene usato per risolvere problemi che quest'ultimo non può.
  • Il differintegrale di Weyl
Formalmente è simile a quello di Riemann–Liouville, ma applicato generalmente a funzioni periodiche, con integrale zero su un periodo.

Definizione attraverso le trasformate[modifica | modifica wikitesto]

Richiamando la trasformata di Fourier, qui denotata con  :

Con tale trasformata, nello spazio di Fourier, la derivata si trasforma in una moltiplicazione:

Pertanto,

che si generalizza a

Sotto la trasformata di Laplace, indicata con , la derivata si trasforma ancora in una moltiplicazione

Generalizzando ad un ordine arbitrario e risolvendo in , si ottiene

Principali proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Linearità

Regola dello zero

Regola del prodotto

In generale, la regola della composizione (o del semigruppo) non è soddisfatta[1]:

Differintegrali principali[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ A. A. Kilbas, H. M. Srivastava e J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, 2006, pp. 75 (Property 2.4).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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